Пусть в некотором объеме 
совершает движение системы зарядов, распределение и движение, которых характеризуется заданными функциями 
и 
координат и времени 
.
В случае калибровки Лоренца:
(1)
Уравнения для потенциалов электромагнитного поля 
и 
имеют вид:
(2)
(3)
Для однозначного решения системы уравнений (1) – (3) известных функций необходимо задать начальные и граничные условия для A и φ.
Обычно задача формулируется так: до некоторого начального момента времени t=0 (t<0) заряды неподвижны, а начиная с момента времени t=0 при t>0 приходят в движение. При этом в электромагнитном поле возникает изменение (возбуждение). Будем полагать, что в (1) – (3) фигурируют потенциалы именно возмущенного поля. Функции 
, 
ответственные за возмущение поля при t>0 считается известными. При 
следует положить:
, 
.
Соответственно, 
, 
. Тогда начальные условия для потенциалов таков:
, 
, 
(4)
Из определения 
и 
видно, что при этом векторы поля действительно равны нулю.
В качестве граничных условий выбирают обычно условия
, 
при 
, 
(5)
Т.е. 
и должны убывать на медленнее функции 
при .
Для решения системы (1) – (3) воспользуемся простым хотя и не строгим методом, основанном на принципе суперпозиции.
Разобьем систему на совокупность сколь угодно малых зарядов 
, где 
- сколь угодно малый объём в . Найдём потенциалы поля, создаваемые зарядом 
в точке наблюдения, считается что никаких других зарядов в пространстве нет. Полное же поле найдем суммируя поля, создаваемое всеми зарядами системы. Кажущееся нарушения закона сохранения заряда – не существуют уединенные переменные во времени заряда – не отразится на конечном решении, в котором будет проведено суммирование ко всем зарядам систем.
Найдем сначала потенциалы поля, создаваемые зарядами вне объема . Уравнения (1) – (3) примут вид:
(6)
Введем сферические координаты с началом в объеме . Поле вне объема имеет сферическую симметрию и зависит только от расстояния до точки наблюдения r. В сферических координатах (6) имеют вид
(7)
Т.е. 
определяются уравнением одного вида
(8)
которое называют волновым уравнением.
Будем решать его методом Даламбера.
Перепишем (8) в виде:
или
(9)
где 
(10)
Перейдем в (9) к новым переменным
(11)
Откуда
, 
(12)
так, что
Следовательно
(13)
Итак, в новых переменных уравнение (9) имеет вид
(14)
и интегрируется непосредственно. Оно удовлетворяется любыми функциями 
и 
одной переменой 
либо 
. Поэтому общее решение можно записать в следующем виде
или, возвращаясь к старым переменным,
(15)
Это решение имеет простой смысл. Значение 
в точке 
в момент времени 
совпадает со значением в точке r в момент времени t. Таким образом 
описывает периодический во времени и пространстве процесс – волновой процесс. При этом волна распространяется в сторону возрастающих значений r со скоростью c. Аналогично 
описывает волну идущую от больших r к меньшим. Для функции 
имеем
(16)
Следовательно, общее решение уравнения (8) описывает наложения двух волн - сходящихся и расходящихся. Поверхности сфер 
являются поверхностями постоянного значения или поверхностями равной фазы. Поэтому говорят, что описывает волновой процесс, который является совокупностью сходящейся и расходящейся сферических волн.
Любые из величин можно представить в виде (16). Рассмотрим одно из частных решений, например, сходящуюся волну. Для скалярного потенциала будем иметь
(17)
Вне объёма (17) справедливо любое 
.Потребуем чтобы (17) непрерывно переходило в решение исходного уравнения (2) вблизи объёма (вблизи точки расположения заряда ).
Если в (2) совершить формальный переход 
, то оно превратиться в уравнение для электростатического потенциала, решением для которого служит
(18)
Поэтому, записав (17) в виде
(19)
мы получим выражение для потенциала поля, создаваемого зарядом , которое удовлетворяет уравнению (7) и переходит вблизи начала координат в (18).
Формула (19) показывает, что потенциальное поле в точке, находящееся в момент времени t на расстоянии r от начала координат, определяется значением заряда в предшествующий момент времени 
. Поэтому потенциал (19) называют запаздывающим потенциалом, а величину 
- временем запаздывания. Это время, за которое распространяющееся со скоростью с электрическое поле проходит путь r.
Вводя начало координат в некоторой точке О, расположенную в объёме и синтезируя по всем зарядам системы получим следующее выражение для потенциала поля в точке наблюдения
(20)
где 
- переменная интегрирования(место положительного элементарного объёма 
), а 
.
Аналогично, для вектор-потенциала
(21)
Наряду с этими решениями в виде запаздывающих потенциалов можно записать аналогичные в виде опережающих потенциалов.
