Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме. Работа А при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 равна
.
Мощность
, Þ
. (47)
Если на участке нет эдс, и вся работа тока идет на нагревание, то за время dt в проводнике выделится количество теплоты 
. Поскольку 
, Þ 
. Интегрируя, получим з акон Джоуля-Ленца в интегральной форме:
. (48)
Если ток – постоянный, то выражение упрощается: 
.
Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Вычислим энергию, которая выделяется в малом объеме проводника dV (рис.16), предполагая для простоты, что векторы плотности тока и напряженности поля сонаправлены, а вектор 
выбран в том же направлении: 
↑↑ 
↑↑ . При перемещении заряда dq на поле совершает работу 
. Подставим 
и напряженность из закона Ома 
, тогда эта работа равна
.
Считая, что вся эта работа идет на нагревание (
), получим
,
где 
. Тогда теплота, выделяющаяся в единице объема проводника в единицу времени, равна
. (49)
Величина слева называется удельной тепловой мощностью тока, а сам Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме утверждает: удельная тепловая мощность тока пропорциональна квадрату плотности тока в той же точке.
