В 1820 году Эрстед обнаружил, что магнитная стрелка устанавливается определенным образом по отношению к проводу, по которому идет ток. Это значит, что вокруг проводника с током существует магнитное поле, вызванное движением зарядов. Далее было установлено экспериментально, что магнитное поле действует на движущиеся заряды и не действует на покоящиеся.
Cила Лоренца. Опыт показывает, что сила, действующая на заряд q, зависит от его величины, положения и скорости. Эту силу разделяют на две составляющие – электрическую 
(не зависит от скорости заряда) и магнитную 
(она зависит от его скорости). Пусть магнитное поле описывается вектором магнитной индукции 
. Опыт показывает, что на заряд q, движущийся со скоростью 
, действует магнитная сила
= 
, (50)
по которой можно определить вектор . На покоящийся заряд в магнитном поле сила не действует. Сила перпендикулярна вектору скорости заряда , поэтому она работы не совершает. Если есть еще и электрическое поле, то результирующая сила (она называется силой Лоренца) равна
. (51)
Магнитное поле равномерно движущегося заряда. Опыт показывает, что точечный заряд q, движущийся со скоростью , создает поле с магнитной индукцией
, (59)
где магнитная постоянная 
=4p×10-7 Гн/м; 
- радиус-вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения. Для магнитных полей, также как и для электрических, справедлив принцип суперпозиции.
Теорема Гаусса для вектора . Графически магнитное поле может быть представлено линиями вектора , касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением вектора , а густота линий равна его модулю. Магнитное поле не имеет специальных магнитных источников, что и выражает теорема Гаусса для поля вектора : Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:
. (63)
Эта теорема выражает тот факт, что линии вектора не имеют ни начала, ни конца. Поэтому число линий, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем. Отсюда, поток вектора сквозь незамкнутую поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы этой поверхности.
Теорема о циркуляции вектора (для магнитного поля постоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора поля по произвольному замкнутому контуру Г равна произведению m о на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром Г:
= m о I, (64)
где 
. Каждый ток в сумме – величина алгебраическая: ток считается >0, если направление движения положительных зарядов в нем связано с направлением обхода контура правилом правого винта.
Так как правая часть выражения (64) не равна нулю, данное поле не потенциально. Подобные поля называют вихревыми, или соленоидальными. Теорема о циркуляции может быть применена для расчета поля вектора . Сравним расчет магнитного поля прямого тока при помощи закона Био-Саварра с расчетом, в котором используется теорема о циркуляции вектора .
Магнитное поле прямого тока. Рассмотрим бесконечный тонкий прямой проводник, по которому течет ток I (рис.18). В соответствии с (61) в произвольной точке А векторы 
от всех элементов тока 
имеют одинаковое направление – за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей (удобнее в качестве угла α взять не угол между dl и r, а дополнительный к нему, поэтому вместо синуса - косинус)
.
Из рисунка 18 видно, что 
и 
, Þ
.
Проинтегрируем это выражение в пределах изменения a от -p/ 2 до + p/ 2, Þ
= 
, Þ
. (65)
Решим эту же задачу при помощи теоремы о циркуляции. Причем в данном случае откажемся от предположения о тонком проводнике. Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечного прямого провода, имеющего круглое сечение радиуса а, перпендикулярно рисунку 19. Найдем индукцию поля снаружи и внутри провода. Из симметрии задачи следует, что силовые линии должны иметь вид перпендикулярных проводу окружностей с центром на оси провода. Причем модуль вектора должен быть одинаков для всех точек, расположенных на одинаковом расстоянии r от оси. Для контура Г 1 по теореме о циркуляции 
, Þ 
при (
), что по смыслу совпадает с (65); для контура Г 2: 
, так как внутрь этого контура попадает только часть тока, пропорциональная отношению сечений. Þ 
при (
).
