Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ѕ»Ћ≈“ є2




Ѕ»Ћ≈“ є1

Ёлектричество и магнетизм

Ёлектростатика

ћежду зар€женными и намагниченными телами действуют силы, называемые электромагнитными. ѕрирода электромагнитных сил обусловлена электрически зар€женными частицами, вход€щими в состав всех тел материального мира. ќпытным путем установлено, что электрические зар€ды обладают следующими свойствами.

◦ «ар€ды бывают двух видов: положительные и отрицательные. ќдноименные зар€ды отталкиваютс€, разноименные Ц прит€гиваютс€.

◦ јлгебраическа€ сумма зар€дов изолированной системы посто€нна.

◦ Ёлектрический зар€д €вл€етс€ рел€тивистским инвариантом.

◦ Ќаименьшим по абсолютной величине элементарным зар€дом, равным 1,6Ј10-19 кулона ( л) €вл€етс€ отрицательный зар€д электрона или равный ему по модулю положительный зар€д протона.

¬заимодействие электрических зар€дов описывает «акон  улона: силы, с которыми два неподвижных точечных зар€да Q и q действуют друг на друга в вакууме, пропорциональны произведению их величин и обратно пропорциональны квадрату рассто€ни€ между ними

, (1)

 

где = 8,85Ј10-12 ‘/м Ц электрическа€ посто€нна€; - единичный вектор в направлении (рис.1).

 
 

«ар€ды порождают в окружающем пространстве электрическое поле, про€вл€ющеес€ в том, что помещенный в любую точку пробный зар€д испытывает действие силы. ѕоле характеризуетс€ векторной величиной, называемой напр€женностью.

Ќапр€женностью электрического пол€ называетс€ отношение силы, действующей на электрический зар€д q, к величине этого зар€да

. (2)

Ќаправление вектора совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный зар€д. ѕодставл€€ вектор из формулы (2) в формулу (1) (в дальнейшем подобную операцию мы будем дл€ краткости обозначать так: (2)Ѓ(1)), получим выражение дл€ напр€женности пол€ точечного зар€да Q:

. (3)

 

Ёто выражение называют законом  улона в полевой форме. –азмерность напр€женности в —»: [E]=[ ¬/м ] - вольт на метр; =[ Ќ/ л ] - ньютон на кулон,Ц здесь и далее в квадратных скобках мы будем обозначать размерности величин. ѕо известной напр€женности в любой точке пол€ легко найти силу, действующую на точечный зар€д q, помещенный в эту точку пол€:

. (4)

ѕринцип суперпозиции: сила, с которой система из n зар€дов, действует на зар€д q, не включенный в эту систему, равна векторной сумме сил, с которыми действует каждый зар€д системы на зар€д q:

. (5)

ќтсюда следует и аналогичное выражение и дл€ напр€женностей:

 

. (6)

Ќапр€женность пол€ системы точечных зар€дов равна векторной сумме напр€женностей полей, которые создавал бы каждый из зар€дов системы в отдельности.

Ёлектростатические пол€ изображают графически с помощью силовых линий Ц кривых в пространстве, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором . √устота силовых линий выбираетс€ так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикул€рной силовым лини€м, численно равн€лось модулю вектора (рис.2).


 

—иловые линии начинаютс€ на положительных зар€дах и заканчиваютс€ на отрицательных. ѕоле, во всех точках которого вектор имеет одинаковую величину и направление, называетс€ однородным (рис.2(1)). ¬ остальных примерах пол€ неоднородны.

ѕоток вектора напр€женности электрического пол€. –ассмотрим сначала поле точечного зар€да q с напр€женностью . ќпишем из этого зар€да сферу радиуса r и площадью . ¬еличина напр€женности измер€етс€ числом силовых линий, проход€щих через единицу поверхности сферы, Þ полное число линий, пересекающих сферу равно

,

 

и не зависит от r! “аким образом, произведение ES (в данном примере это и есть поток) определ€етс€ величиной порождающего поле зар€да и св€зано простым соотношением с напр€женностью. «десь уместно сравнить поток вектора напр€женности с потоком вектора скорости жидкости, вытекающей из центра сферы равномерно во всех направлени€х со скоростью u. ¬ этом случае произведение uS представл€ет собой объем жидкости, вытекающий через поверхность сферы наружу в единицу времени. ¬ведем теперь пон€тие потока вектора строго.

ѕотоком вектора напр€женности электрического пол€ через поверхность S называетс€ величина, равна€

= = , (7)

 

где En Ц проекци€ вектора на направление нормали (рис.3). ¬ектор имеет величину элементарной площади dS и направление, совпадающее с направлением нормали к этой площадке.

 

Ѕ»Ћ≈“ є2

“еорема √аусса. “ак называетс€ выражение, св€зывающее поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S с зар€дом внутри нее. Ќайдем это выражение. ќпишем из точечного зар€да q сферу радиуса r. ¬ каждой точке сферы вектор направлен перпендикул€рно еЄ поверхности и по величине равен . ѕоэтому поток через всю сферу равен

 

= , Þ

 

= . (8)

 

ќкружим теперь зар€д q поверхностью произвольной формы. “огда поток d‘ через элемент dS этой поверхности (рис.4) равен

= . »нтегрирование в пределах полного телесного угла W=4 p дает

 

, Þ

. (9)

ѕоток равен зар€ду q внутри поверхности, деленному на e о. ≈сли зар€д q находитс€ вне замкнутой поверхности, то = 0. ƒействительно, пучок касательных, проведенных от зар€да q (рис.5), делит замкнутую поверхность S на две части и . ѕотоки вектора через эти поверхности равны по величине, но имеют противоположные знаки, поэтому полный поток равен нулю. ƒействительно, поток через замкнутую поверхность можно представить в виде суммы потоков через поверхности и :

.

ћинус по€вл€етс€ из-за противоположных знаков проекций нормалей (напомним: за положительное направление нормали принимаетс€ внешн€€ нормаль к замкнутой поверхности) дл€ поверхностей и .

ѕусть теперь внутри замкнутой поверхности находитс€ n точечных зар€дов. ѕо принципу суперпозиции результирующа€ напр€женность равна векторной сумме напр€женностей, создаваемых каждым зар€дом системы в отдельности, следовательно

. (10)

 

Ёто теорема √аусса: поток вектора напр€женности электрического пол€ через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зар€дов внутри этой поверхности, деленной на e о.

„тобы обобщить теорему √аусса дл€ непрерывного распределени€ зар€да в пространстве с объемной плотностью r = , с поверхностной плотностью s = , или по линии с линейной плотностью l = , нужно суммирование в (10) заменить интегрированием: дл€ зар€да, распределенного по объему ;

по поверхности ;

 

по пр€мой .

“еорема √аусса используетс€ дл€ упрощенного вычислени€ напр€женности в случа€х, обладающих достаточно высокой симметрией. ƒл€ краткости будем называть гауссовой ту (воображаемую, а не зар€женную!) замкнутую поверхность S, по которой ведетс€ интегрирование при вычислении потока.

ѕоле бесконечной равномерно зар€женной плоскости. ѕусть эта плоскость равномерно зар€жена с поверхностной плотностью s >0. ¬ектор должен быть везде направлен перпендикул€рно плоскости от нее. ¬ противном случае существовала бы составл€юща€ напр€женности вдоль плоскости, что привело бы к перемещению зар€дов и противоречило бы предположению о равномерном распределении зар€да по плоскости. “акже €сно, что во всех точках, равноудаленных от плоскости величина вектора должна быть одинакова. ѕоэтому в качестве гауссовой поверхности логично выбрать пр€мой цилиндр, расположенный симметрично относительно зар€женной плоскости, как это показано на рис. 6. ѕоток вектора через боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как там векторы и взаимно перпендикул€рны друг другу, Þ (, )=0, Þ на всей боковой поверхности =0. ѕоэтому полный поток равен сумме потоков через два основани€ 2 D S, где D S Ц площадь каждого основани€ цилиндра (и сечени€ цилиндра плоскостью тоже). ¬нутри цилиндра оказалс€ зар€д s D S (показан более плотной штриховкой). ѕо теореме √аусса 2 D S = s D S/e о, Þ . (11)

—ледовательно, напр€женность не зависит от рассто€ни€ до плоскости, и с каждой стороны от плоскости поле одинаково во всех точках, т.е. однородно.

ѕоле двух зар€женных плоскостей. ѕусть две параллельные плоскости равномерно зар€жены с поверхностными плотност€ми + s и - s (рис.7). ѕоле справа и слева от плоскостей равно нулю ( = s/ 2 e о- s/ 2 e о = 0), а между ними ( = s/ 2 e о+ s/ 2 e о = s/e о), следовательно

= s/e о. (12)

“акое поле создаетс€ в плоском конденсаторе. ≈сли плоскости зар€жены одноименно, то поле между ними равно нулю, а снаружи описываетс€ формулой (12). », наконец, если модули не равны: |+ s | ≠ |- s |, то поле будет внутри больше, чем снаружи, но нигде не будет нулевым.

ѕоле бесконечного равномерно зар€женного по поверхности цилиндра и нити. ѕусть поверхность бесконечно длинного цилиндра радиуса R зар€жена равномерно, и на единицу его длины приходитс€ зар€д l >0. √ауссову поверхность нужно вз€ть в виде цилиндра высоты h и радиуса r (изображен пунктиром на рис.8), коаксиального с зар€женным. ѕоток вектора через боковую поверхность гауссова цилиндра равен E 2 prh, а через основани€ Ц нулю, так как там вектор нормали перпендикул€рен . ¬нутрь гауссовой поверхности попадает тонированна€ часть зар€женного цилиндра, поэтому зар€д внутри равен lh, поэтому при r>R по теореме √аусса имеем E 2 prh = lh/e о, Þ

 

, при r>R. (13)

 

≈сли R≠ 0, то при r Ѓ R, . ѕри r<R зар€д внутри гауссова цилиндра отсутствует, Þ E 2 prh =0, Þ внутри цилиндра напр€женность E =0. ѕри R Ѓ0, E Ѓ¥. “аким образом вблизи тонкого остри€ можно создавать пол€ исключительно высокой напр€женности, из-за чего зар€ды начинают стекать с остри€ в окружающее пространство. ‘ормула (13) подходит и дл€ нити, зар€женной с линейной плотностью l. ¬ этом случае условие r>R выполн€етс€ всегда.

ѕоле равномерно зар€женной сферы. ѕусть сфера радиуса R равномерно зар€жена (не нужно говорить Ђпо поверхностиї - сфера это есть поверхность шара) с поверхностной плотностью

s >0. ¬следствие центральной симметрии вектор в любой точке должен быть направлен вдоль радиуса от центра, а его модуль может зависеть только от рассто€ни€ r от центра. ¬ качестве гауссовой поверхности выберем сферу радиуса r>R (рис.9). ѕо теореме √аусса поток вектора через эту сферу равен E 4 pr 2= , Þ вне сферы поле подобно полю точечного зар€да:

, (14)

особенно если выразить s через полный зар€д сферы q и еЄ площадь 4 pR 2: s= q/ 4 pR 2, откуда получим . Ќа самой зар€женной поверхности = s/e о. ѕри r<R зар€да внутри гауссовой сферы нет, Þ внутри зар€женной сферы напр€женность =0.

ѕоле равномерно зар€женного по объему шара. ѕусть шар радиуса R равномерно зар€жен с объемной плотностью ρ >0. √ауссову поверхность выберем так же, как дл€ сферы (рис.9) ѕри r>R, следу€ теореме √аусса, получаем E 4 pr 2= (чтобы найти зар€д внутри, мы умножили ρ на объем шара радиуса R). ќтсюда получим напр€женность снаружи и на поверхности шара:

(r≥R). (15)

 

ѕри r<R зар€д внутрь гауссовой сферы попадает часть зар€да шара, поэтому E 4 pr 2= , откуда напр€женность внутри шара равна

 

(r<R). (16)

 

Ќа рис. 10 представлены графики зависимости от r дл€ равномерно зар€женных плоскости (1), цилиндра (2), сферы (3) и шара (4).





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1842 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

80% успеха - это по€витьс€ в нужном месте в нужное врем€. © ¬уди јллен
==> читать все изречени€...

493 - | 492 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.034 с.