БИЛЕТ №4

Потенциал. Из независимости от траектории интеграла следует, что его можно представить, как убыль некоторой функции координат:

, или (19)

. (20)

Введенная таким образом функция координат φ () называется потенциалом. Разность потенциалов численно равна работе по переносу единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2. Из того, что поле способно совершить такую работу, следует, что в точках 1 и 2 заряд обладает различной потенциальной энергией. Поэтому потенциал можно определить как потенциальную энергию пробного заряда q, отнесенную к его величине (правда саму потенциальную энергию всё равно придется вводить через ту же работу): . (21)

Кроме того, из введенных определений (19,20), а также определения самой потенциальной энергии, следует, что потенциал определен с точностью до константы.

Потенциал поля точечного заряда. Поскольку заряд q создает поле с напряженностью (3), скалярное произведение в формуле (20) можно преобразовать:

= = =- , Þ

, где ,

и учтено, что (геометрия – на рис.12). Обычно полагают потенциал при r ®¥ равным нулю, тогда =0. В этом случае потенциал поля точечного заряда выражается формулой

. (22)

Если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью ρ (), то точечным следует считать заряд . Тогда потенциал можно представить интегралом по объему

. (23)

Аналогично, если заряды распределены по поверхности или линии, то интегрируют по поверхности или линии соответственно

, . (24)

Единицей потенциала является вольт [ φ ] = [ В ].

Связь напряженности и потенциала. Пусть - вектор малого перемещения вдоль траектории. Это значит, что радиус-вектор (x, y, z) получил приращение . Тогда

= , (25)

откуда следует, что , , . Вектор в декартовых координатах можно представить суммой

= - .

Дифференциальную операцию в скобках, примененную к скалярной функции φ, называют градиентом этой функции (grad φ). Обратите внимание: grad φ – это векторная функция, полученная дифференцированием скалярной функции φ! Таким образом, связь напряженности и потенциала выражается формулой

. (26)

При решении задач бывает полезно найти проекцию на направление некоторого вектора . Так как = , то искомая проекция равна

. (27)