Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћетод областей 6 страница




ќтвет.

 

28. Ќайдите все значени€ параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

–ешение. ќчевидно, дл€ любых значений выполн€етс€ двойные неравенства , .

ќбозначим »сходное уравнение принимает вид

“ак как функци€ возрастает и то . “огда последнее уравнение, а значит и исходное уравнение, равносильно уравнению

»так, исходное уравнение равносильно уравнению

(28.1)

“ак как то уравнение (28.1), значит и исходное уравнение, имеет решение, если

»так, исходное уравнение имеет решение, если .

ЌайдЄм, при каких значени€х параметра а имеет единственное решение уравнение

где . (28.2)

ѕервый способ.

»меем

1) –ассмотрим первое уравнение совокупности (28.3).

Ёто уравнение имеет единственное решение, в двух случа€х.

а) ”равнение , где имеет два корн€,

которые лежат по разные стороны от числа 3. ¬ этом случае рассматриваемое уравнение имеет единственный корень, не равный 3.

«амечание.  вадратное уравнение имеет два корн€, которые лежат по разные стороны от числа тогда и только, когда

»з замечани€ следует: уравнение , где имеет два корн€, которые лежат по разные стороны от числа 3 тогда и только, когда

»з последнего неравенства следует: первое уравнение совокупности

(28.3) не имеет корней, которые лежат по разные стороны от числа 3.

б)  орнем уравнени€ , где €вл€етс€ число 3.

Ћегко проверить, что число, равное 3, €вл€етс€ корнем рассматриваемого уравнени€ при

»так, если то первое уравнение совокупности (28.3) имеет единственный корень.

2) –ассмотрим второе уравнение совокупности (28.3).

Ёто уравнение имеет единственное решение, в двух случа€х.

а) ”равнение , где имеет два корн€, которые лежат по разные стороны от числа 5. ¬ этом случае рассматриваемое уравнение имеет единственный корень, не равный 5.

»з замечани€ следует: уравнение , где имеет два корн€, которые лежат по разные стороны от числа 5 тогда и только, когда

»з последнего неравенства следует: второе уравнение совокупности (28.3) не имеет корней, которые лежат по разные стороны от числа 5.

б)  орнем уравнени€ , где €вл€етс€ число 5.

Ћегко проверить, что число, равное 5, €вл€етс€ корнем рассматриваемого уравнени€ при

»так, если то второе уравнение совокупности (28.2) имеет единственный корень.

“ак как первое уравнение совокупности (28.3) имеет единствен-

ный корень при а второе Ц при то совокупность (28.3), а значит и исходное уравнение, имеет единственный корень, если

¬торой способ.

2. Ќа плоскости построим множество точек, удовлетвор€ющих уравнению , где .

ƒл€ построени€ множества точек проделаем следующее.

1) ѕриравн€ем нулю выражение, сто€щие под знаком модул€ и получим уравнение . ѕостроим пр€мую . Ёта пр€ма€ разобьют плоскость на 2 области. ¬ области I выполн€етс€ неравенство а в области II Ц

2) –ассмотрим исходное уравнение в каждой области.

¬ области I, где исходное уравнение равносильно уравнению

а) ≈сли то “огда . ѕр€ма€ проходит через точки ¬ области I через точки проводим часть пр€мой .

б) ≈сли , то “огда . ѕр€ма€

проходит через точки ¬ области I через точки проводим часть пр€мой .

¬ области II, где исходное уравнение равносильно уравнению

а) ≈сли то “огда . ѕр€ма€ проходит через точки ¬ области II через точки проводим часть пр€мой .

б) ≈сли , то “огда . ѕр€ма€ проходит через точки ¬ области II через точки проводим часть пр€мой .

»з рисунка 31(масштаб на ос€х координат разный) следует: исходное уравнение, имеет единственный корень, если

“ретий способ.

–ассмотрим функции

где .

√рафиком функции , где , €вл€етс€ Ђуголокї с вершиной в точке (4;Ц1), проход€щий через точки (3;0) и (5;0).

√рафиком функции , где , €вл€етс€ Ђподвижный уголокї с вершиной в точке .

–ассмотрим следующие случаи.

1) ѕусть

»з рисунка 32 а) следует, что уравнение (28.2), а значит и исходное уравнение, если имеет не менее двух корней.

2) ѕусть

«амечание. “очка пересечени€ пр€мых , где находитс€ из системы

”равнение (28.2) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда имеет решение одна из систем (рис. 32 б), в))

а) »з замечани€ следует, что ордината точки пересечени€ системы (28.3) Ц это . —истема (28.4) имеет решение, если

–ешением последней системы €вл€етс€ . –ешением системы (28.4) €вл€етс€ точка (5; 0). »так, уравнение (28.2), а значит и исходное уравнение при , имеет единственный корень:

б) »з замечани€ следует, что ордината точки пересечени€ системы (28.5) Ц это . —истема имеет решение, если

–ешением последней системы €вл€етс€ . –ешением системы (28.5) €вл€етс€ точка (3; 0). »так, уравнение (28.2), а значит и исходное уравнение при , имеет единственное решение

»так, если , то уравнение (28.2), а значит и исходное уравнение, имеет единственное решение.

ќтвет.

29. Ќайдите все значени€ параметра а, если , при которых уравнение имеет хот€ бы одно решение, удовлетвор€ющее условию .

–ешение. 1. “ак как , то лева€ часть уравнени€ не больше 5.

“ак как, лева€ часть уравнени€ не больше 5, права€ Ц равна 5, то исходное уравнение равносильно системе

2. “ак как по условию задачи , то из второго уравнени€ системы (29.1), имеем

»з последнего двойного неравенства следует, что или .

а) ≈сли , то

ѕодставим в первое уравнение системы (29.1) и получим

“ак как и по условию задачи , то

»з последнего двойного неравенства следует, что или .

≈сли , то ≈сли , то

б) ≈сли , то

ѕодставим в первое уравнение системы (29.1) и получим

“ак как и по условию задачи , то

Ќи одно значение не удовлетвор€ет последнему двойному неравенству.

ќтвет. или

30. Ќайдите все значени€ параметра а, при которых уравнение имеет решени€. Ќайдите эти решени€.

–ешение. »меем: и .

“аким образом, лева€ часть данного уравнени€ не больше и равна только в случае, когда , а права€ часть не меньше и равна только в случае, когда . “огда исходное уравнение равносильно системе

»з последней системы следует ответ.

ќтвет. ≈сли

 

31. „Єтна€ периодическа€ функци€ , с периодом , определЄнна€ на всей числовой пр€мой, на отрезке задана уравнением . Ќайдите все значени€ параметра а, при которых уравнение имеет ровно 6 корней.

–ешение. 1. ѕостроим график функции на отрезке . »меем

“ак как абсцисса вершины параболы не принадлежит отрезку и ветви параболы направлены вверх, то функци€ на отрезке убывает. ѕоэтому дл€ построени€ графика части параболы на отрезке найдЄм значени€:

“очку пересечени€ параболы на отрезке с осью абсцисс находим из системы

—троим график параболы на отрезке (рис. 33 а)).

2. —троим график функции на отрезке (рис. 33 б)).

3. ѕостроим график функции , котора€ €вл€етс€ чЄтной периодической функцией, с периодом , определЄнна€ на всей числовой пр€мой и на отрезке задана уравнением .

а) Ќа рисунке 33 в) изображЄн график функции на отрезке (воспользовались тем, что функции €вл€етс€ чЄтной).

б) Ќа рисунке 34 изображЄн график функции на отрезке (воспользовались тем, что функции €вл€етс€ периодической с периодом ).

ќтметим: исходное уравнение имеет бесконечное множество корней, если и не имеет корней, если (рис. 34); не €вл€етс€ корнем исходного уравнени€.

«амечание. “ак как функции €вл€етс€ чЄтной, то, если пара удовлетвор€ет уравнению , то и пары также удовлетвор€ет этому уравнению.

»з замечани€ следует, что исходное уравнение надо рассмотреть при и ≈сли при и исходное уравнение имеет три корн€, то при и это уравнение имеет шесть корней.

2. »сходное уравнение при и имеет три корн€, если графики функций , пересекаютс€ в трЄх точках.

а) »з рисунка 34 следует, что графики функций , при пересекаютс€ в одной точке, если .

б) ЌайдЄм число точек пересечени€ графиков функций , , где , если график функции проходит через точку ј (3; 6). »меем

ѕри функци€ принимает вид .

„исло точек пересечени€ графиков функций , где , найдЄм из системы

»так, графики функций , , если пересекаютс€ в двух точках.

»з а) и б) следует: если , то графики функций , , пересекаютс€ в трЄх точках.

б) ЌайдЄм число точек пересечени€ графиков функций , , где , если график функции проходит через точку ј (6; 6). »меем





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 484 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ѕутерброд по-студенчески - кусок черного хлеба, а на него кусок белого. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2212 - | 2148 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.09 с.