Метод областей 2 страница

Из рисунка 12 в) следует ответ.

Ответ. Один корень, если ; два корня, если ; нет корней, если

6. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. Рассмотрим функции

Построим графики функций и при (областью определения функции является интервал ).

Графиком функции , где , является «уголок» с вершиной в точке А (2; 1) и сторонами

Функция для каждого значения параметра а задаёт семейство логарифмических функций,проходящих точку В (1; 0).

На рисунке 14 а) и изображён график функции , где а на рисунке 14 б) изображён график функции , если , при некоторых значениях параметра .

2. Если график функции проходит через точку А (2; 1), то он может пересекать график функции в одной точке А (2; 1) или в двух точках (одна из этих точек А (2; 1)). В этом случае исходное уравнение имеет одно или два корня.

График функции проходит через точку А (2; 1), если

При исходное уравнение принимает вид

(6.1)

3. Уравнение (6.1) равносильно совокупности уравнений

(6.2)

1) Рассмотрим первое уравнение совокупности (6.2).

Так как функция убывает, а функция

возрастает, то графики этих функций пересекаются только в одной точке – это точка А (2; 1), а тогда уравнение (6.1) при , а значит и исходное уравнение при и , имеет единственный корень: .

2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (6.2).

Найдём число точек пересечений графиков функций ,

при

Рассмотрим функцию

Найдём промежутки монотонности, точки экстремума функции

а) Найдём производную функции . Имеем

б) Из уравнения находим критические точки. Имеем

(Отметим: ).

б) Критическая точка разбивает интервал на интервалы , на каждом из которых сохраняет знак.

в) Определим знаки функции . Знаки функции показаны на рисунке 13.

г) Из рисунка 13. делаем вывод.

Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке (критическая точка, в которой функция определена, принадлежит и промежутку возрастания, и промежутку убывания).

В точке функция имеет минимум. Так как функция убывает на промежутке и то на этом промежутке функция отрицательная. Тогда .

Замечание. Если функция непрерывна на отрезке [ a; b ] и на концах отрезка имеет значения разных знаков, то существует такая точка что

Вычислим:

Так как , и функция непрерывна при , то существует такая точка что Это означает, что функции и пересекаются в точке Тогда уравнение (6.1) при , а значит и исходное уравнение при и , имеет корень.

Из 1) и 2) следует, что исходное уравнение при имеет два корня.

4. Построим графики функций и , если при .

Для этого воспользуемся следующим: так как то найдётся такое значение что для всех выполняется неравенство

На рисунке 14 в) изображены графики функций где , и если и . Из рисунка 14 в) следует, что уравнение ни при каких значениях параметра не имеет единственного корня.

Ответ.

7. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственный корень; имеет два корня; не имеет корней?

Решение. Так как то исходное уравнение имеет решение, если

Рассмотрим функции , , где

1. На плоскости построим график функции , где Имеем

Найдём: и построим график функции , где

Для каждого значения параметра функция задаёт семействопоказательных функций, которые проходят

через точку В (0; 1).

На рисунках 15 а) и б) соответственно изображены графики функций и , где .

2. Если график функции проходит через точку А (3; 2), то он может пересекать график функции в одной точке А (3; 2) или в двух точках (одна из этих точек А (3; 2)). В этом случае исходное уравнение имеет одно или два корня.

График функции проходит через точку А (3; 2), если

При исходное уравнение принимает вид

, где (7.1)

3. Уравнение (7.1) равносильно совокупности уравнений

(7.2)

1) Рассмотрим первое уравнение совокупности (7.2).

Найдём число точек пересечений графиков функций и , где

Рассмотрим функцию

Найдём промежутки монотонности функции

а) Найдём производную функции . Имеем

б) Определим знак

Так как , то . Так как функция

возрастает, то , а тогда

Таким образом, если Тогда функция возрастает на интервале

в) Так как и функция возрастает на интервале , то имеем

Из последней системы следует, что графики функций и не пересекаются при . Это означает, что уравнение (7.1) при , а значит и исходное уравнение при и , не имеет корней.

2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (7.2).

Так как функция убывает, а функция возрастает, то графики этих функций пересекаются только в одной точке – это точка А (3; 2), а тогда уравнение (7.1) при а значит и исходное уравнение при и имеет единственный корень.

Из 1) и 2) следует, что уравнение (7.1), а значит и исходное при , имеет единственный корень.

На рисунке 15 в) изображены графики функций , где , , где

Из рисунка следует ответ.

Ответ. Если то корней нет; если то единственный корень; если или , то два корня.

8. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет решений.

Решение 1. Имеем

Исходное уравнение не имеет решений, если одновременно не имеют решений оба уравнения совокупности (8.1).

Возможны следующие случаи.

1) Если то первое уравнения совокупности (8.1) не имеет

решений, а второе уравнение – имеет решение (это легко проверить). Это означает, что исходное уравнение при имеет решение.

2) Если то второе уравнения совокупности (8.1) не имеет решений. Первое уравнение совокупности (8.1) при принимает вид

Так как уравнение не имеет решений, то и первое уравнения совокупности (8.1) не имеет решений Это означает, что исходное уравнение при не имеет решений.

3) Если то исходное уравнение равносильно совокупности

Совокупность (8.2) не имеет решений при тех значениях параметра а, которые удовлетворяют системе

Из последнего двойного неравенства следует, что исходное уравнение при не имеет решений.

Из 2) и 3) следует ответ.

Ответ. .

9. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет не менее двух решений.

Решение. 1. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих уравнению .

Найдём нули выражений, стоящих под знаком модуля:

Нули выражений, стоящих под знаком модуля:

2. Так как функция линейная на каждом промежутке , , , , то для построения графика функции проделаем следующее.

1) Найдём значения функции в точках и в

точках (принадлежит промежутку ) и (принадлежит интервалу ). Имеем .

2) На плоскости построим точки: (–5; –9), (–4; –8), (0;4), (4;0), (5;1).

3) На каждом промежутке , , , построим часть прямой, проходящей через точки абсциссы, которых принадлежат соответствующему промежутку.

Исходное уравнение будет иметь не менее двух решений при тех значениях параметра , при которых прямые пересекают график функции в двух или трех точках (рис 16). Из рисунка 16 следует ответ.