Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћетод областей 2 страница




»з рисунка 12 в) следует ответ.

ќтвет. ќдин корень, если ; два корн€, если ; нет корней, если

 

6. Ќайдите все значени€ параметра , при которых уравнение имеет единственный корень.

–ешение. –ассмотрим функции

ѕостроим графики функций и при (областью определени€ функции €вл€етс€ интервал ).

√рафиком функции , где , €вл€етс€ Ђуголокї с вершиной в точке ј (2; 1) и сторонами

‘ункци€ дл€ каждого значени€ параметра а задаЄт семейство логарифмических функций,проход€щих точку ¬ (1; 0).

Ќа рисунке 14 а) и изображЄн график функции , где а на рисунке 14 б) изображЄн график функции , если , при некоторых значени€х параметра .

2. ≈сли график функции проходит через точку ј (2; 1), то он может пересекать график функции в одной точке ј (2; 1) или в двух точках (одна из этих точек ј (2; 1)). ¬ этом случае исходное уравнение имеет одно или два корн€.

√рафик функции проходит через точку ј (2; 1), если

ѕри исходное уравнение принимает вид

(6.1)

3. ”равнение (6.1) равносильно совокупности уравнений

(6.2)

1) –ассмотрим первое уравнение совокупности (6.2).

“ак как функци€ убывает, а функци€

возрастает, то графики этих функций пересекаютс€ только в одной точке Ц это точка ј (2; 1), а тогда уравнение (6.1) при , а значит и исходное уравнение при и , имеет единственный корень: .

2) –ассмотрим второе уравнение совокупности (6.2).

ЌайдЄм число точек пересечений графиков функций ,

при

–ассмотрим функцию

ЌайдЄм промежутки монотонности, точки экстремума функции

а) ЌайдЄм производную функции . »меем

б) »з уравнени€ находим критические точки. »меем

(ќтметим: ).

б)  ритическа€ точка разбивает интервал на интервалы , на каждом из которых сохран€ет знак.

в) ќпределим знаки функции . «наки функции показаны на рисунке 13.

г) »з рисунка 13. делаем вывод.

‘ункци€ убывает на промежутке и возрастает на промежутке (критическа€ точка, в которой функци€ определена, принадлежит и промежутку возрастани€, и промежутку убывани€).

¬ точке функци€ имеет минимум. “ак как функци€ убывает на промежутке и то на этом промежутке функци€ отрицательна€. “огда .

«амечание. ≈сли функци€ непрерывна на отрезке [ a; b ] и на концах отрезка имеет значени€ разных знаков, то существует така€ точка что

¬ычислим:

“ак как , и функци€ непрерывна при , то существует така€ точка что Ёто означает, что функции и пересекаютс€ в точке “огда уравнение (6.1) при , а значит и исходное уравнение при и , имеет корень.

»з 1) и 2) следует, что исходное уравнение при имеет два корн€.

4. ѕостроим графики функций и , если при .

ƒл€ этого воспользуемс€ следующим: так как то найдЄтс€ такое значение что дл€ всех выполн€етс€ неравенство

Ќа рисунке 14 в) изображены графики функций где , и если и . »з рисунка 14 в) следует, что уравнение ни при каких значени€х параметра не имеет единственного корн€.

ќтвет.

7. ѕри каких значени€х параметра а уравнение имеет единственный корень; имеет два корн€; не имеет корней?

–ешение. “ак как то исходное уравнение имеет решение, если

–ассмотрим функции , , где

1. Ќа плоскости построим график функции , где »меем

ЌайдЄм: и построим график функции , где

ƒл€ каждого значени€ параметра функци€ задаЄт семействопоказательных функций, которые проход€т

через точку ¬ (0; 1).

Ќа рисунках 15 а) и б) соответственно изображены графики функций и , где .

2. ≈сли график функции проходит через точку ј (3; 2), то он может пересекать график функции в одной точке ј (3; 2) или в двух точках (одна из этих точек ј (3; 2)). ¬ этом случае исходное уравнение имеет одно или два корн€.

√рафик функции проходит через точку ј (3; 2), если

ѕри исходное уравнение принимает вид

, где (7.1)

3. ”равнение (7.1) равносильно совокупности уравнений

(7.2)

1) –ассмотрим первое уравнение совокупности (7.2).

ЌайдЄм число точек пересечений графиков функций и , где

–ассмотрим функцию

ЌайдЄм промежутки монотонности функции

а) ЌайдЄм производную функции . »меем

б) ќпределим знак

“ак как , то . “ак как функци€

возрастает, то , а тогда

“аким образом, если “огда функци€ возрастает на интервале

в) “ак как и функци€ возрастает на интервале , то имеем

»з последней системы следует, что графики функций и не пересекаютс€ при . Ёто означает, что уравнение (7.1) при , а значит и исходное уравнение при и , не имеет корней.

2) –ассмотрим второе уравнение совокупности (7.2).

“ак как функци€ убывает, а функци€ возрастает, то графики этих функций пересекаютс€ только в одной точке Ц это точка ј (3; 2), а тогда уравнение (7.1) при а значит и исходное уравнение при и имеет единственный корень.

»з 1) и 2) следует, что уравнение (7.1), а значит и исходное при , имеет единственный корень.

Ќа рисунке 15 в) изображены графики функций , где , , где

»з рисунка следует ответ.

ќтвет. ≈сли то корней нет; если то единственный корень; если или , то два корн€.

8. Ќайдите все значени€ параметра а, при которых уравнение не имеет решений.

–ешение 1. »меем

»сходное уравнение не имеет решений, если одновременно не имеют решений оба уравнени€ совокупности (8.1).

¬озможны следующие случаи.

1) ≈сли то первое уравнени€ совокупности (8.1) не имеет

решений, а второе уравнение Ц имеет решение (это легко проверить). Ёто означает, что исходное уравнение при имеет решение.

2) ≈сли то второе уравнени€ совокупности (8.1) не имеет решений. ѕервое уравнение совокупности (8.1) при принимает вид

“ак как уравнение не имеет решений, то и первое уравнени€ совокупности (8.1) не имеет решений Ёто означает, что исходное уравнение при не имеет решений.

3) ≈сли то исходное уравнение равносильно совокупности

—овокупность (8.2) не имеет решений при тех значени€х параметра а, которые удовлетвор€ют системе

»з последнего двойного неравенства следует, что исходное уравнение при не имеет решений.

»з 2) и 3) следует ответ.

ќтвет. .

9. Ќайдите все значени€ параметра а, при которых уравнение

имеет не менее двух решений.

–ешение. 1. Ќа плоскости построим множество точек, удовлетвор€ющих уравнению .

ЌайдЄм нули выражений, сто€щих под знаком модул€:

Ќули выражений, сто€щих под знаком модул€:

2. “ак как функци€ линейна€ на каждом промежутке , , , , то дл€ построени€ графика функции проделаем следующее.

1) ЌайдЄм значени€ функции в точках и в

точках (принадлежит промежутку ) и (принадлежит интервалу ). »меем .

2) Ќа плоскости построим точки: (Ц5; Ц9), (Ц4; Ц8), (0;4), (4;0), (5;1).

3) Ќа каждом промежутке , , , построим часть пр€мой, проход€щей через точки абсциссы, которых принадлежат соответствующему промежутку.

»сходное уравнение будет иметь не менее двух решений при тех значени€х параметра , при которых пр€мые пересекают график функции в двух или трех точках (рис 16). »з рисунка 16 следует ответ.

ќтвет. .

10. Ќайдите все значени€ параметра а, при которых уравнение имеет хот€ бы один корень.

–ешение. 1. ѕерепишем уравнение в виде

“ак как , то последнее уравнение, а значит и исходное уравнение может иметь решение, если

–ассмотрим исходное уравнение при .

2. «апишем уравнение в виде

–ассмотрим функцию где .

а) ≈сли , то при любом раскрытии модулей имеем

ќчевидно, “огда функци€ (линейна€) при возрастает.

б) ≈сли , то при любом раскрытии модулей имеем

ќчевидно, “огда функци€ при убывает.

“ак как при функци€ возрастает, а при Ц убывает, то точка Ц точка максимума.

ќпределим знаки функции в точках и





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 437 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ѕольшинство людей упускают по€вившуюс€ возможность, потому что она бывает одета в комбинезон и с виду напоминает работу © “омас Ёдисон
==> читать все изречени€...

2236 - | 1960 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.06 с.