Задачи с параметрами
Уравнения с модулем
задачи типа заданий С 5
Дихтярь М.Б.
Общие сведения
1. Абсолютной величиной, или модулём числа х, называется само число х, если 
число 
, если 
ноль, если 
При решении уравнения с модулем пользуемся тем, что
2. Построение графиков функций, содержащих модуль.
а) Построить график функции 
где 
Решение. Имеем
Графиком функции 
, где 
является «уголок» с вершиной в точке 
и сторонами
График функции , где 
схематично изображён на рисунке 1, для случая когда 
б) Построить график функции 
где 
Решение. Имеем
Графиком функции 
, где 
, является «уголок» с вершиной в точке 
и со сторонами
График функции , где ,схематично изображён на рисунке 2, для случая когда 
в) Построить график функции 
.
Решение. Найдём нули выражений, стоящих под знаком модуля: 
Функция 
линейная на каждом промежутке 
, 
, 
. Для построения графика функции:
1) найдём значения функции 
в тех точках, в которых выражения, стоящие под знаком модуля равны нулю, а также в одной из точек, например, в точке 
, принадлежащей промежутку , и, например, в точке 
, принадлежащей промежутку . Имеем 
, 
;
2) построим точки: (– 2; –1), (–1; 1), (2; 1), (3; 3);
3) на каждом промежутке , , построим часть прямой (функция линейная на каждом промежутке), проходящей через точки, абсциссы которых принадлежат соответствующему промежутку.
График функции схематично изображён на рисунке 3.
г) Построить график функции 
.
Решение. 1. Найдём нули выражений, стоящих под знаком модуля:
Нули выражений, стоящих под знаком модуля: 
2. Так как функция линейная на каждом промежутке 
, 
, 
, 
, 
, то для того чтобы построить график функции на каждом промежутке проделаем следующее.
1) Найдём значения функции 
в тех точках, в которых выражения, стоящие под знаком модуля равны нулю, а также в точках 
и 
.
Имеем 
.
2) На плоскости 
построим точки 
3). 
На каждом промежутке , , , , построим часть прямой, проходящей через точки, абсциссы которых принадлежат соответствующему промежутку.
График функции схематично изображён на рисунке 4.
3. Построение графика функции 
.
График функции получается из графика функции 
следующим образом:
а) строим график ;
б) те точки графика, для которых 
, остаются без изменения, а точки графика, для которых 
отображаются относительно оси х.
4. Примеры
Построить графики функций
1) 
2) 
3) 
Решения.
1) а) Имеем 
Из последнего уравнения следует, что графиком функции 
является парабола с вершиной в точке (2; –1), ветви которой направлены вверх. Точки пересечения параболы с осью абсцисс находим из уравнения
Строим график параболы (рис. 5 а).
б) Строим график функции 
(рис. 5 б).
2) а) Имеем 
Из последнего уравнения следует, что графиком функции 
является парабола с вершиной в точке (2; 1), ветви которой направлены вверх. Так как вершина параболы расположена выше оси абсцисс и её ветви направлены вверх, то парабола не пересекает ось абсцисс. Тогда 
.
Таким образом, имеем 
.
Графиком функции 
является парабола 
.
Замечание. Графиком функции 
является гипербола, асимптотами которой являются прямые 
3)
Имеем
Графиком функции 
является гипербола (рис. 6 а)), асимптотами которой являются прямые 
б) Строим график функции 
(рис. 6 б)).
