Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћетод областей 1 страница




3. –ешите уравнение .

–ешение. Ќа плоскости построим множество точек, удовлетвор€ющих исходному уравнению.

ƒл€ построени€ множества точек проделаем следующее.

1. ѕриравн€ем нулю выражени€, сто€щие под знаком модул€: и . ќткуда следует: и .

Ќа плоскости построим пр€мые и . Ёти пр€мые разобьют плоскость на 4 области.

2. –ассмотрим исходное уравнение в каждой области. ƒл€ этого надо раскрыть модули в каждой области.

 

«амечание. ѕри раскрытии модулей надо учитывать знак выражени€, сто€щего под модулем в соответствующей области. “ак как знак в каждой области посто€нный, то знак выражени€ в области совпадает со знаком выражени€ в любой точке этой области.

 

1) ¬ области I исходное уравнение равносильно системе

¬ области I строим часть пр€мой , котора€ параллельна пр€мой и пересекает пр€мую в точке ј (Ц1; 3,5).

2) ¬ области II исходное уравнение равносильно системе

¬ области II строим часть пр€мой , котора€ параллельна оси абсцисс и пересекает пр€мые и соответственно в точках ј (Ц1; 3,5) и ¬ (Ц3,5; 3,5).

3) ¬ области III исходное уравнение равносильно системе

¬ области III строим часть пр€мой , котора€ параллельна оси ординат и пересекает пр€мую в точке ¬ (Ц3,5; 3,5).

4) ¬ области IV исходное уравнение равносильно системе

Ќи одна точка не удовлетвор€ет последней системе.

√рафик исходного уравнени€ изображЄн на рисунке 9 (графиком исходного уравнени€ €вл€етс€ совокупность части пр€мых: , , ). ƒл€ того чтобы найти решени€ исходного уравнени€ при каждом значении параметра , надо провести пр€мые (если пр€ма€ пересекает график исходного уравнени€ в n точках,тоисходное уравнение при имеет n решений) и найти абсциссы точек пересечени€ графиков исходного уравнени€ и пр€мой . »з рисунка 9 следует ответ.

ќтвет. ѕри уравнение не имеет решений; при решением уравнении €вл€ютс€ (уравнение имеет бесконечное множество решений); при уравнение имеет два решени€ ,

4. —колько решений в зависимости от параметра а имеетуравнение на отрезке ?

ћетод интервалов.

 

–ешение. 1. ≈сли то уравнение на отрезке не имеет решений, так как оно принимает вид

2. ѕусть

»меем .

«амечание. ≈сли пара удовлетвор€ет уравнению, то и пара также удовлетвор€ет этому уравнению.

»з замечани€ и 1. следует: уравнение надо рассмотреть при

≈сли , то исходное уравнение равносильно уравнению

, где и (4.1)

–аскрыва€ модули, на отрезке заменим уравнение (4.1) равносильной совокупностью уравнений

2) –ассмотрим первое уравнение совокупности (4.2), если

“ак как то , а тогда

–ешением уравнени€ (4.1), а значит и исходного уравнени€, на отрезке €вл€етс€ , если

»так, если , то €вл€етс€ решением уравнени€ (4.1), а значит и исходного уравнени€ на отрезке .

3) –ассмотрим второе уравнение совокупности (4.2), если

а) ≈сли то легко проверить, что уравнение , а значит и исходное уравнение, не имеет решений.

б) ѕусть “огда

–ешением уравнени€ (4.1), а значит и исходного уравнени€, на

промежутке при €вл€етс€ , если

»так, если , то €вл€етс€ решением уравнени€ (4.1), а значит и исходного уравнени€ на промежутке .

»з 1. и 2. с учЄтом замечани€ следует ответ.

ќтвет. ≈сли , то нет решений; если , то одно решение; если , то два решени€.

 

ћетод областей.

 

–ешение. Ќа плоскости построим множество точек, удовлетвор€ющих уравнению

, где и (4.3).

”равнение (4.3) равносильно совокупности (см. первый метод)

(4.2)

Ћегко проверить, что не удовлетвор€ет исходному уравнению. ѕоэтому рассмотрим первое уравнение совокупности (4.2) при . »меем

Ќа отрезке строим часть гиперболы , асимптотой которой €вл€етс€ пр€ма€ . √ипербола пересекает пр€мую в точке ј .2. ¬торое уравнение совокупности (4.2) равносильно системе

 

Ќа промежутке строим часть гиперболы , асимптотой которой €вл€етс€ пр€ма€ . √ипербола пересекает пр€-

мую в точке ¬ .

√рафик уравнени€ (4.3) изображЄн на рисунке 10.

»з рисунка 10 дл€ и замечани€ следует ответ.

ќтвет. ≈сли , то нет решений; если , то одно решение; если , то два решени€.

 

√рафический метод.

–ешение. ≈сли , то исходное уравнение равносильно уравнению (4.3)

–ассмотрим функции , где и .

1. √рафиком функции , где , €вл€етс€ часть пр€мой, проход€щей через точки ј (Ц3; 2) и ¬ (5; 10).

2. √рафиком семейства функций €вл€етс€ Ђподвижный уголокї с неподвижной вершиной в точке (Ц1; 0) и подвижными сторонами

3. ЌайдЄм при каких значени€х параметра а график функции проходит через точку ј (Ц3; 2) и определим сколько решений имеет исходное уравнение в этом случае.

а) √рафик функции проходит через точку ј (Ц3; 2), если

б) ≈сли , то функци€ принимает вид и на отрезке имеем

в) “ак как пр€ма€ параллельна пр€мой , а пр€ма€ пересекает пр€мую в точке ј (Ц3; 2), то график функции на отрезке пересекает пр€мую в одной точке ј (Ц3; 2) (рис.11). “огда исходное уравнение при имеет единственное решение.

4. ЌайдЄм при каких значени€х параметра а график функции

проходит через точку ¬ (5; 10) и определим сколько решений имеет исходное уравнение в этом случае.

а) √рафик функции проходит через точку ¬ (5; 10), если

б) ≈сли , то функци€ принимает вид и на отрезке имеем

в) “очку пересечени€ пр€мых , , где найдЄм из системы

ѕр€мые , пересекаютс€ на отрезке в точке (Ц2,5; 2,5).

г) “очку пересечени€ пр€мых и , где найдЄм из системы

ѕр€мые , на промежутке пересекаютс€ в точке ¬ (5; 10).

д) √рафик функции на отрезке пересекает пр€мую в двух точках: ¬ (5; 10), (Ц2,5; 2,5) (рис.11).

»сходное уравнение при имеет два решени€.

»з рисунка (рис.11) дл€ и замечани€ следует ответ.

ќтвет. ≈сли , то нет решений; если , то одно решение; если , то два решени€.

«амечание. √рафический метод даЄт нагл€дную интерпретацию решени€ задачи. — помощью этого метода может быть получен ответ нагл€дно и быстро, но очень часто только графическа€ интерпретаци€ оказываетс€ недостаточной и дл€ полного обосновани€ требуютс€ дополнительные исследовани€.

5. ѕри каких значени€х параметра уравнение имеет единственный корень; имеет два корн€; не имеет корней?

–ешение. 1. –ассмотрим функции где . ѕостроим графики функций и при (областью определени€ функции €вл€етс€ интервал ).

√рафиком функции , где €вл€етс€ Ђуголокї с вершиной в точке ј (2; 1) и сторонами

‘ункци€ дл€ каждого значени€ параметра а задаЄт семейство логарифмических функций,проход€щих через точку ¬ (1; 0).

Ќа рисунке 12 а) изображЄн график функции , где а на рисунке 12 б) изображЄн график функции , если , при некоторых значени€х параметра .

2. ≈сли график функции проходит через точку ј (2; 1), то он может пересекать график функции в одной точке ј (2; 1) или в двух точках (одна из этих точек ј (2; 1)). ¬ этом случае исходное уравнение имеет одно или два корн€.

√рафик функции проходит через точку ј (2; 1), если

ѕри исходное уравнение принимает вид

(5.1)

3. ”равнение (5.1) равносильно совокупности уравнений

(5.2)

1) –ассмотрим первое уравнение совокупности (5.2).

“ак как функци€ убывает, а функци€ возрастает, то графики функций пересекаютс€ только в одной точке Ц это точка (2; 1), а тогда уравнение (5.1) при , а значит и исходное уравнение при и , имеет единственный корень: .

2) –ассмотрим второе уравнение совокупности (5.2).

ЌайдЄм число точек пересечений графиков функций при

–ассмотрим функцию

ЌайдЄм промежутки монотонности функции .

а) ЌайдЄм производную функции . »меем

б) ќпределим знак если

“ак как , то . “ак как функци€ убывает, если то , а тогда

“аким образом, если . “огда функци€ возрастает на интервале

“ак как и функци€ возрастает на интервале , то

(5.3)

»з системы (5.3) следует: графики функций и

не пересекаютс€ при . Ёто означает, что уравнение (5.1) при , а значит и исходное уравнение при и не имеет корней.

»з 1) и 2) следует, что уравнение (5.1), а значит и исходное при , имеет единственный корень.

4. ѕостроим графики функций и при и . ƒл€ этого воспользуемс€ следующим: так как то найдЄтс€ такое значение что дл€ всех выполн€етс€ неравенство

Ќа рисунке 12 в) изображены графики функций

если и .





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 459 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќаглость Ц это ругатьс€ с преподавателем по поводу четверки, хот€ перед экзаменом уверен, что не знаешь даже на два. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2431 - | 2012 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.066 с.