Метод областей 5 страница

в) Графиком функции является парабола с подвижной вершиной в точке (– 0,5 а; 0), где ветви которой направлены вверх.

5. Из рисунка 24 (масштаб на осях координат разный) следует, что исходное уравнение имеет три корня при тех значения параметра , при которых парабола проходит через точку (8; 36) при условии, что

Парабола проходит через точку (8; 36), если

Из замечания следует, что исходное уравнение и при имеет три корня.

Ответ.

23. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. 1. Если , то исходное уравнение принимает вид . (23.1)

Уравнение (23.1) имеет нечётное число корней тогда и только тогда, когда является корнем уравнения (так как и являются одновременно корнем уравнения). Легко проверить, что не является корнями уравнения (23.1), поэтому при исходное уравнение не может единственного корня.

2. Исходное уравнение равносильно уравнению

.

Сделаем замену Тогда Исходное уравнение принимает вид (23.2)

Исходное уравнение и уравнение (23.2) имеют одинаковое число решений при одних и тех же значениях параметра а (так как , то для каждого значения t находится единственное значение х).

Перепишем уравнение (23.2) в виде Так как то уравнение (23.2), имеет решение, если

Из последней системы следует, что уравнение (23.2), имеет решение, если

Замечание. Если точка является корнем уравнения (23.2) при ,то является корнем этого уравнения при . Это следует из того, что и

 

Из замечания следует: еслиуравнение (23.2), а значит и исходное уравнение, имеет один корень при , то оно имеет также один корень при .

Рассмотрим исходное уравнение при Имеем

где и (23.3)

Уравнение (23.3) равносильно совокупности

 

2. На плоскости при построим множество точек, удовлетворяющих совокупности (23.4).

Для построения множества точек проделаем следующее.

Приравняем нулю выражение, стоящие под знаком модуля ,

где и получим уравнение . Построим прямую . Эта

прямая разобьют плоскость на 2 области. В области I выполняется неравенство где а в области II – где

Рассмотрим совокупность (23.4) в каждой области.

1) В области I совокупность (23.4) равносильна совокупности

а) Если то

Графиком функции где является часть параболы. Так как абсцисса вершины параболы не принадлежит отрезку и ветви параболы направлены вверх, то на этом отрезке функция возрастает. Поэтому для построения части параболы найдём следующие значения функции ,

Отметим: точки принадлежат области I.

Строим часть параболы где

б) Если то

Графиком функции где является часть параболы. Так как абсцисса вершины параболы не принадлежит отрезку и ветви параболы направлены вниз, то на этом отрезке функция убывает. Поэтому для построения части параболы найдём следующие значения функции : ,

Отметим: точки принадлежат области I.

Строим часть параболы где

2) В области II совокупность (23.4) равносильна совокупности

а) Если то

Графиком функции где является часть параболы. Абсцисса вершины параболы не принадлежит множеству и ветви параболы направлены вниз. Поэтому для построения части параболы найдём следующие значения функции :

Отметим: точки принадлежат области II, а точки не принадлежат области II, они лежат выше оси абсцисс.

Строим часть параболы , где

б) Если то

Графиком функции где является часть параболы. Абсцисса вершины параболы не принадлежит множеству и ветви параболы направлены вверх. Поэтому для построения части параболы найдём следующие

значения функции :

Отметим: точки принадлежат области II, а

 

точки не принадлежат области II, они лежат выше оси абсцисс.

Строим часть параболы , где

2. Из рисунка 25 следует: если то совокупность (23.4), а значит и исходное уравнение, имеет единственный корень.

Из замечания следует, что и при исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ. или

24. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение ?

Решение. Очевидно, что не является корнем исходного уравнения. Имеем

На плоскости построим график функции .

1. Очевидно, .

2. Найдём промежутки монотонности, точки экстремума, значения функции в точках экстремума.

а) Найдём производную функции . Имеем

б) Из уравнения находим критические точки:

Эти точки и точка разбивают числовую прямую на интервалы

в) Определим знаки функции на каждом интервале (рис. 26). Надо учесть то, что функция задана различными выражениями.

г) Из рисунка 26 делаем вывод.

Функция возрастает на каждом промежутке

Функция убывает на каждом промежутке

В точках и функция имеет максимум.

3. Рассмотрим поведение функции вблизи границ области определения функции. Имеем

 

4. Строим график функции .

5. Из рисунка 27 (масштаб на осях координат разный) следует ответ.

Ответ. Если то 4 корня; если то 3 корня; если то 2 корня; если то 1 корень; если то корней нет.

 

25. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение ?

Решение. Очевидно, что не является корнем исходного уравнения.Имеем

На плоскости построим график функции .

1. Очевидно, .

2. Найдём промежутки монотонности, точки экстремума, значения функции в точках экстремума.

а) Найдём производную функции . Имеем

б) Из уравнения находим критическую точку:

Кроме того,критической точкой является точка (функция в этой точке определена, а производная не существует).

Эти точки и точка разбивают числовую прямую на интервалы

в) Определим знаки функции на каждом интервале (рис. 28). Надо учесть то, что функция задана различными выражениями.

г) Из рисунка 28 делаем вывод.

Функция возрастает на каждом промежутке

Функция убывает на каждом промежутке . Функция в точке имеет максимум, а в точке – минимум.

3. Рассмотрим поведение функции вблизи границ области определения функции. Имеем

4. Строим график функции (рис. 29).

5. Из рисунка 29 (масштаб на осях координат разный) следует ответ.

Ответ. Если то корней нет; если то 1 корень; если то 4 корня; если , то 3 корня; если то 2 корня.

 

26. Решите уравнение .

Решение. 1. Так как то при уравнение решений не имеет.

 

Замечание. Точки и одновременно удовлетворяют уравнению . Поэтому можно сначала решить уравнение при

2. Так как точки (х; а) и (– х; а) одновременно удовлетворяют исходному уравнению, то рассмотрим это уравнение при

Имеем

Из системы (26.1) следует, если , то

3. Рассмотрим систему (26.1) при Имеем

3. Графиком системы (26.2)является часть окружности с центром в точке (3; 0) и радиусом, равным 5.

Построим график системы (26.2) на плоскости х0а.

а) Точку пересечения графика системы (26.2) с осью 0а найдём из системы

Итак, график системы (26.2) проходит через точку (0; 4).

Строим часть окружности при и . 5. Из рисунок 30 следует, что система (26.2) имеет

один корень если ; один корень , если ;

два корня: , если ; два корня: если ;

корней не имеет, если .

Из замечания, а также из 1. для исходного уравнения следует ответ.

Ответ. Если , то корней не имеет;

если , то два корня: ;

если , то три корня: ;

если , то четыре корня:

если , то два корня: .

27. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет четыре корня.

Решение. 1. Исходное уравнение при имеет два корня, так как оно принимает вид .

2. Пусть

Сделаем замену , где

а) Если то уравнение имеет единственный корень. Для любого уравнение имеет два различных корня

или .

б) Пусть

Так как и то исходное уравнение принимает вид

, где и (27.1)

Исходное уравнение имеет четыре корня, если уравнение (27.1) имеет два различных положительных корня.

Так как то уравнение (27.1) равносильно уравнению

(27.2)

Замечание. Квадратное уравнение имеет два положительных корня тогда и только, когда

Итак, квадратное уравнение (27.2), а значит и квадратное уравнение (27.1) имеет два положительных корня тогда и только, когда выполняется условие

Итак, квадратное уравнение (27.2) имеетдва положительных корня,если Тогда исходное уравнение имеет четыре различных корня при