Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћетод областей 3 страница




»меем

“ак как точка Ц точка максимума и то исходное уравнение будет иметь хот€ бы один корень тогда и только тогда, когда (рисунка 17)

»сходное уравнение имеет хот€ бы один корень, если

ќтвет.

11. –ешите уравнение .

–ешение. –ассмотрим функции и

ѕостроим график функции .

»меем

√рафик функции схематично изображЄн на рисунке 18.

„исло корней исходного уравнени€ при каждом значении d равно

количеству точек пересечени€ графиков функций и .  орн€ми исходного уравнени€ €вл€ютс€ абсциссы точек пересечени€ графиков функций и .

»з рисунка 18 следует, что исходное уравнение: а) не имеет корней, если ; б) имеет бесконечное множество корней, (корнем €вл€етс€ любое ), если ; в) имеет два корн€, если . Ёти корни наход€тс€ из совокупности

»так, если , то исходное уравнение имеет два корн€: , ;

ќтвет. ≈сли , то два корн€ (корень меньше b), (корень больше с); если , то бесконечное множество корней, (корнем €вл€етс€ любое ); если ,то не имеет корней.

12. Ќайдите все значени€ параметра а, при которых уравнение

имеет четыре корн€.

–ешение. 1. »сходное уравнение равносильно уравнению

—делаем замену ќчевидно,

»сходное уравнение принимает вид

, где (12.1)

2. –ассмотрим квадратное уравнение (12.2)

≈сли , то корень уравнени€ (12.2) кратности 2. ƒл€

любого , уравнение (12.2) имеет два различных корн€

или .

»сходное уравнение имеет четыре корн€ при тех значени€х пара-

метра, при которых уравнение (12.1) имеет два положительных корн€.

3. –ассмотрим уравнение (12.1).

1) “ак как , то уравнение (12.1), а значит и исходное уравнение имеет решение, если .

≈сли то уравнение (12.1) не имеет решений, так как оно принимает вид .

2) ѕусть ќбозначим: “огда уравнение (12.1) принимает вид где (12.3)

ќчевидно, если то

”равнение (12.3) имеет два корн€ (задача 11), если ¬ этом случае числа и €вл€ютс€ корн€ми уравнени€ (12.3) тогда и только тогда, когда .

а) „исло €вл€етс€ корнем уравнени€ (12.3), если

б) “ак как то . “огда €вл€етс€ корнем уравнени€ (12.3) при любом

»так, если то уравнение (12.3) имеет два положительных корн€, тогда исходное уравнение имеет четыре корн€.

ќтвет. .

13. Ќайдите все значени€ параметров а и при которых уравнение имеет единственный корень.

–ешение. ќбозначим: “огда исходное уравнение принимает вид (13.1)

”равнение (13.1), если имеет, либо два корн€, либо бесконечное множество корней, либо не имеет корней (задача 11). ѕоэтому уравнение (13.1), а значит и исходное уравнение может иметь единст-

венный корень только в случае, если

≈сли то уравнение (13.1) принимает вид

(13.2)

ѕоследнее уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда

»так, уравнение (13.2), а значит и исходное уравнение, имеет единственный корень тогда и только тогда, когда

»з последней совокупности следует ответ.

ќтвет.

14. Ќайдите все значени€ параметра а, при которых уравнение имеет три корн€. Ќайдите эти корни.

–ешение. 1. —делаем замену

“ак как то . (14.1)

2. –ассмотрим квадратное уравнение (14.1).

≈сли , то €вл€етс€ корнем квадратного уравнени€

(14.1) кратности 2. ƒл€ любого квадратное уравнение (14.1)

имеет два различных корн€ или .

3. ≈сли где , то исходное уравнение принимает вид где . (14.2)

4. »з уравнени€ (14.2) следует, что . ѕоследнее равенство означает:при точки и одновременно €вл€ютс€ корн€ми уравнени€ (14.2).

»з 2. и 4. следует, что исходное уравнение может иметь три корн€ только в случае, когда уравнение (14.2) имеет два корн€, причЄм один из корней , а другой корень

»з уравнени€ (14.2) следует, если , то

5. »меем

если , то ;

если , то , .

ќтвет. ≈сли , то уравнение имеет три корн€ , , .

15. Ќайдите все значени€ параметра а, при которых уравнение имеет не менее 7 корней, €вл€ющихс€ натуральными числами.

–ешение. 1. ≈сли , то уравнение имеет бесконечное множество корней (уравнение принимает вид 1=1). »так, при уравнение имеет не менее семи корней, €вл€ющихс€ натуральными числами.

2. ≈сли , то исходное уравнение равносильно уравнению

(15.1)

а) “ак как , то уравнение (15.1), а значит и исходное уравнение, имеет решение, если

.

»так, исходное уравнение имеет решение, если .

б) ≈сли то исходное уравнение принимает вид

ѕоследнее уравнение, а значит и исходное уравнение, если имеет единственный корень.

3. –ассмотрим уравнение (15.1), если .

ќбозначим: ќчевидно, и так как то .

”равнение (15.1) принимает вид (15.2)

”равнение (15.2), а значит и исходное уравнение, имеет бесконечное множество корней (задача 11).  орнем уравнени€ (15.2) €вл€етс€ любое (задача 11). “огда число корней уравнени€ (15.1), €вл€ющихс€ натуральными числами, совпадает с числом натуральных чисел отрезка , где .

4. –ассмотрим все возможные случаи.

1) ≈сли то ќтрезок , где

содержит не менее семи натуральных чисел (отрезку

принадлежат числа 1, 2, Е, 7, или 1, 2, Е, 7, 8, или 1, 2, Е, 7, 8, Е), если

»сходное уравнение имеет не менее семи корней, €вл€ющихс€ натуральными числами, если

2) ≈сли то исходное уравнение имеет корнем одно натуральное число (уравнение принимает вид

3) ≈сли то ќтрезок , где содержит не менее семи натуральных чисел (отрезку принадлежат числа 1, 2, Е, 7, или 1, 2, Е, 7, 8, или 1, 2, Е, 7, 8, Е), если

»сходное уравнение имеет не менее семи корней, €вл€ющихс€ натуральными числами, если

4) ≈сли то ќтрезок , где не содержит натуральных чисел.

ќтвет.

 

16. Ќайдите все значени€ параметра а, при которых уравнение

имеет 1) единственное решение, 2) два решени€.

–ешение. 1. Ќа плоскости построим множество точек, удовлетвор€ющих уравнению .

ƒл€ построени€ множества точек проделаем следующее.

ѕриравн€ем нулю выражение, сто€щие под знаком модул€ и получим уравнение . ѕостроим пр€мую . Ёта пр€ма€ разобьют плоскость на 2 области. ¬ области I выполн€етс€ неравенство а в области II Ц

–ассмотрим исходное уравнение в каждой области.

2. ¬ области I, где исходное уравнение равносильно уравнению .

¬ области I построим множество точек, удовлетвор€ющих уравнению .

1) ЌайдЄм нули выражений, сто€щих под модул€ми:

»так, нули выражений, сто€щих под модул€ми:

2) “ак как функци€ линейна€ на каждом промежутке , , , , , , то дл€ того чтобы построить график функции на каждом промежутке проделаем следующее.

ЌайдЄм значени€ функции в точках а также, например, в точках (принадлежит промежутку ) и (принадлежит интервалу ). »меем

3) ¬ области I построим точки:

.

4) Ќа каждом промежутке , , , , , построим часть пр€мой, проход€щей через точки абсциссы, которые принадлежат соответствующему промежутку.

3. ¬ области II, где исходное уравнение равносильно

уравнению

¬ области II построим множество точек, удовлетвор€ющих уравнению .

1) Ќули выражений, сто€щих под модул€ми:

2) “ак как функци€ линейна€ на каждом промежутке , , , , , , то дл€ того чтобы построить график функции на каждом промежутке проделаем следующее.

ЌайдЄм значени€ функции в точках ; .

»меем

3) ¬ области II построим точки:

4) Ќа каждом промежутке , , , , , построим часть пр€мой, проход€щей через точки абсциссы, которых принадлежат соответствующему промежутку.

»з рисунка следует ответ.

ќтвет. ≈динственное решение, если два решени€, если

 

17. Ќайдите все значени€ параметра а, при которых уравнение имеет 3 различных корн€. Ќайдите эти корни.

–ешение. ѕри исходное уравнение имеет единственный корень: так как при уравнение принимает вид

ѕусть

–ассмотрим функции , .

1. Ќа плоскости построим график функции .

“ак как функци€ €вл€етс€ чЄтной (так как ), то график функции симметричен относительно оси у.

ѕостроим график функции , если .

≈сли , то .





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 446 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬елико ли, мало ли дело, его надо делать. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

740 - | 550 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.045 с.