Параллельный перенос системы координат

Так же как и на плоскости, в пространстве можно выполнить параллельный перенос системы координат. Пусть в пространстве заданы две декартовы прямоугольные системы координат: "старая" с началом в точке и осями , , и "новая" с началом в точке и осями , , , причем оси одной системы координат соответственно параллельны осям другой системы и одинаково с ними направлены. Будем говорить, что вторая система координат получена из первой параллельным переносом.

Пусть начало новой системы координат имеет в старой системе координаты . Пусть - некоторая точка пространства с координатами в старой системе координат и - в новой системе координат. Тогда связь между "старыми" и "новыми" координатами точки задается формулами, аналогичными формулам

.

Пусть некоторая поверхность задана уравнением

Тогда в системе координат с началом в точке и осями , , , полученной параллельным переносом, уравнение поверхности будет иметь вид .

Пример 2. Построить поверхность .

Решение. Выделим полные квадраты по переменным , и

.

Введем новую систему координат с началом в точке , получающуюся из старой параллельным переносом. в новой системе поверхность задается уравнением

Данное уравнение отличается от канонического уравнения однополостного гиперболоида тем, что поменялись ролями оси ординат и аппликат (). Не переобозначая осей, произведем построение поверхности с помощью сечений. В сечении плоскостью получаем эллипс

Его полуоси равны 1 и 2 и лежат соответственно на осях и . В сечении плоскостью получаем гиперболу с уравнением

Ее мнимая ось лежит на оси , а действительная ось лежит на оси , полуоси соответственно равны 2 и 1. В сечении плоскостью получаем равностороннюю гиперболу

Ее мнимая ось лежит на оси , а действительная ось лежит на оси , обе полуоси равны 2. Для большей наглядности нарисуем еще два сечения плоскостями параллельными плоскости . В сечениях получим эллипсы, подобные эллипсу в плоскости . По рассмотренным сечениям можно представить себе форму гиперболоида и его расположение в пространстве

Рис. 33.Изображение поверхности с помощью сечений Рис. 34.Объемное изображение поверхности.