Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид 
, где 
и 
- положительные числа.
Исследуем форму гиперболического параболоида. Так же, как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости 
, 
и координатная ось 
.
Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью 
. На этой плоскости 
, поэтому
.
Это уравнение определяет на плоскости пару прямых 
, изображенных на рис. 23.
Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости 
, поэтому 
.
Это уравнение на плоскости задает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 23). Сечение плоскостью также является параболой 
, но ее ветви направлены вверх (рис. 23).
Рис.23.Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями
Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью 
. Уравнения этой линии
Первое уравнение преобразуем к виду 
, то есть к виду 
, где 
, 
. Данное уравнение является уравнением гиперболы. Ее действительная ось параллельна оси 
, а мнимая - оси 
. Полуоси равны соответственно 
и 
. Изобразим полученное сечение, но чтобы не перегружать рисунок линиями, асимптоты изображать не будем (рис. 24).
Найдем линии пересечения с плоскостями 
, параллельными плоскости . Уравнения этих линий
Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью 
, только сдвинутой вдоль оси на величину 
вверх. Эти параболы изображены на рисунке 24.
Рис.24.Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений
Так как 
- произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости . Передвигать параболу нужно так, чтобы ее плоскость оставалась параллельной плоскости , а вершина скользила по параболе в плоскости .
Плоскость 
, 
, пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от гиперболы, ее действительная ось параллельна теперь оси , а мнимая -- оси (рис. 25).
Рис.25.Дополнительное сечение Рис.26.Гиперболический параболоид
