Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид , где - положительные числа

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид , где - положительные числа.

Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение на плоскости задает эллипс с полуосями и . Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

.

Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис.8).

Рис.8.Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями

Сечение плоскостью также является гиперболой с уравнением

Изобразим и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью (рис. 9).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями . Уравнения этих линий

Первое уравнение преобразуем к виду

Введём обозначения , , тогда уравнение примет вид

Данное уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия и полуосями и . Изобразим полученные сечения (рис.9).

Рис.9.Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений

Если в каноническом уравнении гиперболоида , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис. 10).

Рис.10.Однополостный гиперболоид вращения