Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид 
, где 
- положительные числа.
Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.
Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью 
. На этой плоскости 
, поэтому
Это уравнение на плоскости задает эллипс с полуосями 
и 
. Найдем линию пересечения с плоскостью 
. На этой плоскости 
, поэтому
.
Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна 
. Построим эту гиперболу (рис.8).
Рис.8.Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями
Сечение плоскостью 
также является гиперболой с уравнением
Изобразим и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью (рис. 9).
Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями 
. Уравнения этих линий
Первое уравнение преобразуем к виду
Введём обозначения 
, 
, тогда уравнение примет вид 
Данное уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия 
и полуосями 
и 
. Изобразим полученные сечения (рис.9).
Рис.9.Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений
Если в каноническом уравнении гиперболоида 
, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси 
(рис. 10).
Рис.10.Однополостный гиперболоид вращения
