Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид , где - положительные числа.

С математической точки зрения поверхность лучше определять с помощью уравнения , так как в нем меньше параметров, но при этом, во-первых, теряется аналогия с уравнениями предыдущих поверхностей, а во-вторых, если считать, что величины имеют размерность длины, то в уравнении размерности правой и левой части не согласуются.

Для краткости в дальнейшем конус второго порядка будем называть просто конус. Исследуем форму конуса. Так же, как эллипсоид и гиперболоиды, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения конуса найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому .

Координаты только одной точки плоскости могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение пары прямых на плоскости . Построим эти прямые (рис.15). Сечение плоскостью также является парой прямых с уравнением .

Рис. 15. Сечения плоскостями и .

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями . Уравнения этих линий

Первое уравнение преобразуем к виду . Обозначив и , получим

Данное уравнение является уравнением эллипса. Построим полученные сечения (рис. 17).

Рис.16. Дополнительное сечение Рис.17. Изображение конуса с помощью сечений

Точка пересечения конуса с плоскостью называется вершиной конуса.

Если в каноническом уравнении , то сечения конуса плоскостями параллельными плоскости являются окружностями. В этом случае поверхность называется прямым круговым конусом и может быть получена вращением прямой, лежащей в плоскости , вокруг оси .