Определение. Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид , где - положительные числа

Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид , где - положительные числа.

Исследуем форму эллипсоида. Из канонического уравнения эллипсоида видно, что координаты точек поверхности ограничены: . Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для выяснения формы эллипсоида рассмотрим его сечения плоскостями. Найдем линию пересечения эллипсоида с плоскостью . Так как любая точка плоскости имеет нулевую аппликату , то координаты точек эллипсоида на плоскости удовлетворяют уравнению

Рис.3.Сечение плоскостью .

Аналогично, сечение в плоскости дает эллипс с полуосями и , а сечение плоскостью -эллипс с полуосями и (рис.4)

Рис.4.Сечения эллипсоида координатными плоскостями.

Построенный "каркас" из сечений уже дает представление об эллипсоиде. Но чтобы выяснить, как ведет себя поверхность между нарисованными кривыми, рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью . Эта плоскость параллельна плоскости . Уравнения этой линии пересечения

Очевидно, что если , то ни одна точка пространства не может удовлетворять этой системе: в левой части первого уравнения стоит неотрицательное число, а в правой - отрицательное. Если , то в сечении получим лишь одну точку или в зависимости от знака .

Пусть . Тогда исходное уравнение преобразуем к виду

.

Введём обозначения , , тогда уравнение примет вид .

Полученное уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу, задаваемому уравнением, полученным при пересечении эллипсоида плоскостью с коэффициентом подобия и полуосями и . Ясно, что сечение плоскостью является таким же эллипсом, расположенным симметрично первому относительно плоскости . Изобразим эти сечения

Рис.5.Дополнительные сечения эллипсоида. Рис. 6. Эллипсоид.

Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии- центром эллипсоида. Числа называются полуосями. Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называется трехосным.

Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей. Например, если , то все сечения эллипсоида плоскостями , , будут окружностями. Сам эллипсоид может быть получен из эллипса , , лежащего в плоскости , при вращении его вокруг оси (рис. 7).

Рис.7.Эллипсоид вращения