Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид 
, где 
и 
- положительные числа.
Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости 
, 
и координатная ось 
.
Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью 
. На этой плоскости 
, поэтому 
.
Координаты только одной точки плоскости могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости 
, поэтому 
.
Это уравнение параболы на плоскости . Построим ее (рис. 19). Сечение плоскостью также является параболой. Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью 
. Уравнения этой линии
Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если 
. Эта точка называется вершиной параболоида.
Пусть 
. Первое уравнение преобразуем к виду 
, то есть к виду 
, где 
, 
. Полученное уравнение является уравнением эллипса. Изобразим полученное сечение (рис.19). При 
плоскость поверхность не пересекает.
Рис.19.Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями
Найдем сечения параболоида плоскостями 
, параллельными плоскости . Линии этих сечений удовлетворяют уравнениям 
и являются параболами, такими же, как в плоскости , только сдвинутыми вверх на величину 
, их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении плоскостью (рис. 20).
Рис.20 Дополнительное сечение Рис. 21.Эллиптический параболоид Рис. 22.Параболоид вращения
Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости , а вершина скользила по параболе в плоскости .
Если в уравнении 
, то сечения плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис. 22).
