Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид 
, где 
- положительные числа.
Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.
Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью 
. На этой плоскости 
, поэтому 
.
Координаты ни одной точки плоскости не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью 
. На этой плоскости 
, поэтому 
.
Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна 
, а мнимая полуось равна 
. Построим эту гиперболу (рис. 11).
Рис. 11.Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью
Сечение плоскостью 
также является гиперболой, с уравнением 
. Построим гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью (рис.12).
Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями 
. Уравнения этих линий
Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если 
. Если 
или 
, то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку 
или 
. Эти точки называются вершинами гиперболоида.
Пусть 
. Первое уравнение преобразуем к виду 
Введём обозначения 
, 
, тогда уравнение примет вид 
Данное уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия 
и полуосями 
и 
. Нарисуем полученные сечения (рис. 12).
Рис. 12 Изображение двуполостного. Рис. 13. Д вуполостный гиперболоид. Рис. 14 Д вуполостный гиперболоид
гиперболоида с помощью сечений вращения
Если в уравнении 
, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси 
(рис.14).
Конус
