Тождественное отображение. Обратимое отображение

Определение 50. Отображение называется тождественным, если , и обозначается .

Замечание. Пусть - функция, тогда и

Доказательство. .

Определение 51. Отображение называется обратимым, если существует отображение , такое, что. fg = и gf = . В этом случае функция g называется обратной для функции f.

Замечание. Если в определении 51 выполняется 1-ое равенство то функция g называется правой обратной функцией для f, а если 2-ое то левой обратной функцией для f.

Лемма 1. Пусть , - функции. Если gf= , то f – инъективная функция, а g – сюръективная функция.

Доказательство. 1) Покажем что f - инъективная функция. Проверим, что выполняется определение 46.

Пусть f () = f (). Покажем, что = . Действительно, () gf () g (f ())= g (f ()) gf () () x -инъективна.

2) Покажем, что g -сюръективная функция.

g - сюръективная функция.