Свойства операций над множествами

Теорема 1. Для операций над множествами справедливы следующие свойства:

1. А È B=В È А	1’. А Ç B=В Ç А	Коммутативность
2. (А È B) È С= А È (B È С)	2’. (А Ç B) Ç С= А Ç (B Ç С)	Ассоциативность
3. А È (B Ç С)=(А È В) Ç (А È С)	3’. А Ç (В È С)=(А È В) Ç (А È С)	Дистрибутивность
4. А È А=А	4’. А Ç А=А	Идемпотентность
5.	5’.	Законы де Моргана
6. А È (А Ç В)=А	6’. А Ç (А È В)=А	Законы поглощения
7. А È = U 8. А È U= U 9. А È Æ= А	7’. А Ç =Æ 8’. А Ç U=A 9’. А Ç Æ=Æ	Законы пустого и универсального множества
10. =А		Закон инволюции
11. А\В=А Ç		Закон исключения разности

Доказательство. Докажем свойство 1.

Левая часть выражения 1 состоит по определению 5 из элементов, принадлежащих либо А, либо В, либо А и В. Правая часть состоит из элементов, принадлежащих либо В, либо А, либо В и А. Очевидно, что левая и правая часть равенства 1 состоит из одних и тех же элементов следовательно по определению 1, .

Докажем свойство 11: = методом встречных включений

а) и и

б) и и

в) из и следует

Остальные свойства доказываются аналогично.

Замечание 1. Операции пересечения и объединения можно сформулировать в общем виде для конечного и бесконечного числа множеств.

Замечание 2. Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов. В бесконечном случае различают счетные множества (например, ℤ) и множества мощности континуум (например, ℝ).

Если конечное множество M состоит из n элементов, то пишут | M |= n, т.е. | M | -мощность множества M.

Таким образом, мощность конечного множества – это число элементов данного множества.

Пусть M – множество. Обозначим через P(M) - совокупность всех подмножеств множества M.

Утверждение. Если | M |= n, то | P(M) |= 2ⁿ. Другими словами, у конечного множества мощности n существует ровно 2ⁿ попарно различных подмножеств.

Например, если А={1,2}, то | A |=2 и | P(A) |=4.