Свойства операций над множествами
Лекции.Орг

Поиск:


Свойства операций над множествами




Теорема 1. Для операций над множествами справедливы следующие свойства:

1. АÈB=ВÈА 1’. АÇB=ВÇА Коммутативность
2. ( АÈB)ÈС= АÈ(BÈС) 2’. ( АÇB)ÇС= АÇ(BÇС) Ассоциативность
3. АÈ(BÇС)=(АÈВ)ÇÈС) 3’. АÇÈС)=(АÈВ)ÇÈС) Дистрибутивность
4. АÈ А=А 4’. АÇА=А Идемпотентность
5. 5’. Законы де Моргана
6. АÈÇВ)=А 6’. АÇÈВ)=А Законы поглощения
7. АÈ = U 8. АÈ U= U 9. АÈÆ= А 7’. АÇ 8’. АÇU=A 9’. АÇÆ=Æ Законы пустого и универсального множества
10.   Закон инволюции
11. А\В=АÇ   Закон исключения разности

Доказательство. Докажем свойство 1.

Левая часть выражения 1 состоит по определению 5 из элементов, принадлежащих либо А, либо В, либо А и В. Правая часть состоит из элементов, принадлежащих либо В, либо А, либо В и А. Очевидно, что левая и правая часть равенства 1 состоит из одних и тех же элементов следовательно по определению 1, .

Докажем свойство 11: = методом встречных включений

а) и и

б) и и

в) из и следует

Остальные свойства доказываются аналогично.

Замечание 1. Операции пересечения и объединения можно сформулировать в общем виде для конечного и бесконечного числа множеств.

Замечание 2. Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов. В бесконечном случае различают счетные множества (например, ℤ) и множества мощности континуум (например, ℝ).

Если конечное множество M состоит из n элементов, то пишут |M|=n, т.е. |M| -мощность множества M.

Таким образом, мощность конечного множества – это число элементов данного множества.

Пусть M – множество. Обозначим через P(M) - совокупность всех подмножеств множества M.

Утверждение. Если |M|=n, то |P(M)|=2n. Другими словами, у конечного множества мощности n существует ровно 2n попарно различных подмножеств.

Например, если А={1,2}, то |A|=2 и |P(A)|=4.

 





Дата добавления: 2015-05-06; просмотров: 357 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.002 с.