Теорема о разбиении множества отношением эквивалентности на классы

Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Пример. «∥» на множестве всех прямых в пространстве, «=» на множестве ℝ.

Определение 28. Пусть А - непустое множество. Совокупность А₁,...,А_n непустых подмножеств множества А называется разбиением множества А на классы (при этом сами множества А₁,...,А_n называют классами), если каждый элемент множества А принадлежит одному и только одному из подмножеств А₁,...,А_n, т.е.

1) А₁ ... А_n=A;

2) A_i A _j = , i= , j= , j≠i.

Пример 1. Пусть А={1,2,3}. Тогда

1) A₁={1}, A₂={2}, A₃={3} – разбиение А;

2) B₁={123} – разбиение А.

Теорема 2. Пусть R - отношение эквивалентности на множестве А. Тогда множество А разбивается отношением R на классы, которые называются классами эквивалентности, а множество этих классов обозначается A/R (A по R) и называется фактормножеством множества А по отношению эквивалентности R.

Доказательство. Пусть R отношение эквивалентности на А.

Пусть а А, aR ={ x A | (a, x) R }(*)

Отметим, что aR A, а А.

Покажем что подмножества вида (*) образуют разбиение множества А. Для этого достаточно показать, что они удовлетворяют усл.1 и усл.2 из определения 28.

Усл.1) Покажем что = А