Прямое (декартово) произведение множеств

Любым двум объектам а и b поставим в соответствие их упорядоченную пару (а, b). Элемент а - первая координата (компонента) упорядоченной пары, элемент b- вторая координата.

Упорядоченные пары (а, b) и (с, d) называют равными, если а=с и b=d, в частности, (а, b) = (b, а) тогда и только тогда, когда а=b.

Определение 11. Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество, обозначаемое A B (читается «А прямо на В»), которое состоит из всех упорядоченных пар вида (a,b), где элемент а пробегает все множество А, элемент b пробегает все множество В, т.е. А В= .

Пример 1. Пусть A= , B= . Найти A B, B A.

Решение:

, т. е. операция не является коммутативной.

.

Определение 12. Упорядоченная n -ка вида (a₁,a₂,..,a_n) называется кортежем длины n.

Определение 13. Прямым (декартовым) произведением n множеств называется множество , состоящее из всех кортежей () длины n таких, что , то есть

Для целого положительного числа n и множества А обозначают n-я декартова степень множества А.

В частности, - декартов квадрат множества A.

Пусть A_i, , - совокупность множеств. Тогда - декартово произведение множеств A_i, .