Лекции.Орг


Поиск:




Функциональное отношение. Функции




Определение 39. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a, b) f и (a, c) f b = c.

 


A

B A B

 

функциональное отношение, не является функцион. отношением

но не функция

Определение 40. Функциональное отношение f между множествами A и B называется функцией или отображением A в B, если Dom f = A,и обозначается
f: A B или A B.

 

 

A f

Функция и

функциональное отношение

B

Замечание. Если f: A B – функция, то каждому элементу a A соответствует единственный элемент b B и записывается f (a)= b (a, b) f a f b.

Определение 41. Пусть f: A B функция, a A, b B. Если f (a)= b, то b называется образом элемента a при отображении f; элемент a называется прообразом элемента b при отображении f.

 

A

f


B

 

Определение 42. Пусть дана функция f: A B, A 0 A. Множество f (A 0)={ f (a)| a A 0} называется образом множества A 0 при отображении f.

 
 


A B

f

 

 
 


f (A 0)

Определение 43. Пусть f: A B функция, b B.
Множество f -1(b)={ a A | f (a)= b } называется полным прообразом элемента b при отображении f.


       
   


A

B

 
 


a1, a2 прообразы b.

{ a 1, a 2} – полный прообраз при отображении f.

Определение 44. Пусть f: A B функция, B 0 B.
Множество f -1(B 0)= называется полным прообразом множества B 0 при отображении f.

Отметим, что f -1(B)= A, f (A) B.

Определение 45. Отображение f: X Y называется инъективным (или взаимно-однозначным отображением X в Y), если x 1, x 2 X из x 1 x 2 f (x 1) f (x 2). «разным соответствуют разные»

Замечание. На практике при проверке свойства инъективности используют другую формулировку.

Определение 46. Отображение f: X Y называется инъективным, если x 1, x 2 X из f(x 1)= f (x 2) x 1= x 2. «если образы равны, то и прообразы равны»

Определение 47. Отображение f: X Y называется сюръективным (или отображением X на Y), если Im f совпадает с Y (Im f = Y), т. е.
y Y x X т. что f (x) = y. «для всякого образа найдётся прообраз»

Определение 48. Отображение f: X Y называется биективным (взаимно-однозначным отображением X на Y), если f инъективно и сюръективно.

Биективное отображение называется биекцией, инъективное – инъекцией, сюръективное – сюръекцией.

       
   


A f B

не является инъекцией

 

 

 
 

 


f B

A инъекция, не сюръекция

 

   
 
 
 

 

 


A B

f

сюръекция, инъекция

биекция

 
 

 






Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-06; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 760 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Слабые люди всю жизнь стараются быть не хуже других. Сильным во что бы то ни стало нужно стать лучше всех. © Борис Акунин
==> читать все изречения...

749 - | 708 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.