Степенная, показательная и логарифмическая

Степенная функция с натуральным показателем непрерывна на R как произведение n непрерывных функций . Если , то степенная функция строго возрастает и поэтому обратима на всем множестве R (см. рис. 1.19):

Если , то степенная функция с четным показателем не обратима на всем множестве R (так как разным значениям х ₀и - х ₀ соответствует одно значение функции: (х ₀)^2k=(- х ₀)^2k= y ₀).

Если рассмотреть функцию на положительной части области определения , то для нее существует обратная функция , которая также является строго возрастающей

Рассмотрим степенную функцию с целым отрицательным показателем . Она определена и непрерывна при и по определению степени с целым показателем записывается в виде

Дадим определение степенной функции с рациональным показателем :

Если , то положим .

Функция непрерывна и строго возрастает при x>0. Функция непрерывна при t>0 и строго возрастает, если m>0; строго убывает при m<0.

Поэтому, согласно теореме о непрерывности сложной функции, степенная функция х^r непрерывна на (0;+¥) и возрастает при r >0, а убывает при r <0.

Лемма 1. Для функций имеет место .

Пусть теперь x - произвольная точка числовой прямой и - последовательность рациональных чисел, сходящаяся к х: . Предполагая a >0, положим по определению: .

Функция а^х (а >0), определенная для равенством называется показательной с основанием a.

Свойства функции :

1. При a >1 функция строго возрастает, при 0< a <1 – строго убывает на всей числовой оси.

2. .

3. .

4. Функция непрерывная на R.

5. при .

6. множество значений функции при 0< a ¹1- .

Используя теорему о существовании и непрерывности обратной функции, на промежутке определим функцию, обратную к показательной . Эта функция называется логарифмической и обозначается .

Показательная функция у= а^х при возрастает, поэтому обратная функция при a >1 также строго возрастает и непрерывна: . При 0< a <1 функция также непрерывна и строго убывает: