Лемма 1. Если 
и 
, то
. (1)
gРассмотрим единичный круг с центром в начале координат. Пусть 
, 
, тогда ВС= sinx, ОС= cosx, ОА=1. Из подобия DОВС 
DОДА имеем 
, поэтому AД=tgx.
Для 
: 
.
Для сектора АОВ: 
.
Для 
.
Из неравенств 
следует
. (2)
Если 
, то 
и из (2) имеем 
. Из свойств обратных величин получаем неравенство (1).
функции 
и 
- четные, поэтому неравенство (1) справедливо и при х Î 
.n
Лемма 2. 
справедливо неравенство 
.
Теорема. Функции 
, 
непрерывны на R.
gПусть 
- произвольная точка множества R. Тогда 
.
из неравенства (4) имеем: 
, а в силу ограниченности функции : 
. Поэтому 
.
При 
, а функция непрерывна в точке .
для доказательства непрерывности функции 
в точке оценим разность 
: 
.n
Лемма 3 (Первый замечательный предел).
Если 
, то 
, т.е.:
. (5)
gв неравенстве (1) перейдем к пределу при . по теореме о пределе промежуточной функции, учитывая непрерывность (
), имеем (5).n
Обратные тригонометрические функции
Рассмотрим функцию для 
(см. рис. 1.18). Она непрерывна, строго возрастает и принимает значения из [-1,1]. По теореме о существовании обратной функции на отрезке [–1,1] определена функция, обратная к функции , которая непрерывна и строго возрастающая. Ее обозначают 
, 
. График функции симметричен графику синусоиды, заданной на 
относительно прямой y=x.
Рассмотрим функцию (
), которая непрерывна и строго убывает (см. рис 1.18). по теореме об обратной функции на отрезке [–1,1] определяется 
, которая также непрерывна и строго убывает.
Функция 
(
) непрерывна, строго возрастает, принимая значения из (–¥;+¥) (см. рис. 1.18). Обратная к ней функция, которую обозначают 
(х ÎR), - непрерывна и строго возрастает: D(arctg)= (–¥;+¥); E(arctg)=(-p/2; p/2). Поскольку 
, то функция 
– нечетная.
Функцию, обратную к функции 
(
), обозначают 
: D(arcсtg)= (–¥;+¥); E(arctg)=(0; p). Она непрерывная и строго убывающая на R.
1.19. Второй замечательный предел
Теорема. Функция 
имеет предел при 
: 
. (1)
gФункция 
определена при 
, т.е. 
В параграфе 1.8 доказано, что последовательность 
имеет предел: 
. Покажем, что существует предел функции при 
(т.е. рассмотрим функцию на правой части 
). Если 
, то 
. (2)
Не ограничивая общности, можно считать x>1 (нас интересует поведение при ). Пусть 
. Из неравенства (2) для обратных величин имеем: 
, откуда после прибавления 1 к обеим частям получим: 
. (3)
Возведем каждое выражение в неравенстве (3) последовательно в степени (2): 
.
Пределы крайних величин равны:
;
.
По теореме о пределе промежуточной функции получим: 
. (4)
Рассмотрим левую часть : 
= 
= 
= 
.
