Тригонометрические и обратные тригонометрические функции

Лемма 1. Если и , то

. (1)

gРассмотрим единичный круг с центром в начале координат. Пусть , , тогда ВС= sinx, ОС= cosx, ОА=1. Из подобия DОВС DОДА имеем , поэтому AД=tgx.

Для : .

Для сектора АОВ: .

Для .

Из неравенств следует

. (2)

Если , то и из (2) имеем . Из свойств обратных величин получаем неравенство (1).

функции и - четные, поэтому неравенство (1) справедливо и при х Î .n

Лемма 2. справедливо неравенство .

Теорема. Функции , непрерывны на R.

gПусть - произвольная точка множества R. Тогда .

из неравенства (4) имеем: , а в силу ограниченности функции : . Поэтому .

При , а функция непрерывна в точке .

для доказательства непрерывности функции в точке оценим разность : .n

Лемма 3 (Первый замечательный предел).

Если , то , т.е.:

. (5)

gв неравенстве (1) перейдем к пределу при . по теореме о пределе промежуточной функции, учитывая непрерывность (), имеем (5).n

Обратные тригонометрические функции

Рассмотрим функцию для (см. рис. 1.18). Она непрерывна, строго возрастает и принимает значения из [-1,1]. По теореме о существовании обратной функции на отрезке [–1,1] определена функция, обратная к функции , которая непрерывна и строго возрастающая. Ее обозначают , . График функции симметричен графику синусоиды, заданной на относительно прямой y=x.

Рассмотрим функцию (), которая непрерывна и строго убывает (см. рис 1.18). по теореме об обратной функции на отрезке [–1,1] определяется , которая также непрерывна и строго убывает.

Функция () непрерывна, строго возрастает, принимая значения из (–¥;+¥) (см. рис. 1.18). Обратная к ней функция, которую обозначают (х ÎR), - непрерывна и строго возрастает: D(arctg)= (–¥;+¥); E(arctg)=(-p/2; p/2). Поскольку , то функция – нечетная.

Функцию, обратную к функции (), обозначают : D(arcсtg)= (–¥;+¥); E(arctg)=(0; p). Она непрерывная и строго убывающая на R.

1.19. Второй замечательный предел

Теорема. Функция имеет предел при : . (1)

gФункция определена при , т.е.

В параграфе 1.8 доказано, что последовательность имеет предел: . Покажем, что существует предел функции при (т.е. рассмотрим функцию на правой части ). Если , то . (2)

Не ограничивая общности, можно считать x>1 (нас интересует поведение при ). Пусть . Из неравенства (2) для обратных величин имеем: , откуда после прибавления 1 к обеим частям получим: . (3)

Возведем каждое выражение в неравенстве (3) последовательно в степени (2): .

Пределы крайних величин равны:

;

.

По теореме о пределе промежуточной функции получим: . (4)

Рассмотрим левую часть : = =

= .