Пусть XÍR, YÍR. Если каждому x ÎX поставлено в соответствие по некоторому правилу единственное значение y ÎY, тогда на множестве Х определена действительная функция действительной переменной, т.е. у=f (x).
Здесь Х=D(f) – область определения; x ÎD(f) – аргумент (независимая переменная); y 0= f (x 0) – значение функции в точке х 0; Y=Е(f) – совокупность всех значений, которые принимает функция на D(f).
Функции f и g называются равными (совпадающими), если они имеют общую область определения Х и (" x ÎХ® f (x)= g (x)).
Суммой, разностью, произведением, частным функций f и g (обозначают f+g, f–g, f×g, f/g) называют функции, значения которых в каждой точке x ÎЕ равны f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)×g(x), 
.
Пусть функции y=j (x) и z=f (y) определены на множествах X и Y соответственно, причем множество значений функции j содержится в области определения функции f. Функцию, принимающую при каждом x ÎX значение z=f (j (x)), называют сложной функцией (композицией функций j и f).
Способы задания функций:
1. аналитический способ. Числовые функции чаще всего задаются при помощи формул. Область определения при этом явно не указывается. Считают, что D(f) – множество всех тех значений аргумента, при которых эта формула имеет смысл (результатом каждой операции, указанной в формуле, является действительное число). В примере все функции заданы на R.
2. табличный способ. Для некоторых значений аргумента указывают соответствующие значения переменной. Данные могут быть получены опытным путём или расчётами (например, таблицами логарифмов, тригонометрических функций).
3. графический способ. В практике физических измерений функциональная зависимость часто задаётся эскизом графика (например, снимаемого с экрана осциллографа). В медицине при изучении работы сердца получают электрокардиограммы – кривые, отражающие изменение электрических импульсов в мышце сердца с течением времени.
4. словесный способ применяется, когда трудно (или невозможно) задать функцию иными способами.
Графиком функции y=f(x), xÎD(f) в прямоугольной системе координат хOу называют множество всех точек плоскости с координатами (x, f (x)), где xÎD(f).
Функция у = f (х) называется ограниченной снизу [ сверху ] на множестве Х, если ($m [M]ÎR): (" x ÎX ® f (x)³m [ f (x)£M]).
f (x) - ограничена на Х Û ($ c>0): (" x ÎX ® ½ f (x)½£ c).
Геометрически ограниченность функции f на множестве Х означает, что ее график лежит в полосе между прямыми у=±с.
f (x) - неограниченная на ХÛ("c>0) ($ x сÎX): (½ f (x с)½>c).
функция у=f(х) является возрастающей [ строго возрастающей ] на некотором множестве Х, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е.:
(" х 1, х 2ÎХ): (х 1 <x 2) ® f(x 1 )£ f(х 2 ) [ f(x 1 ) < f(х 2 ) ],
функция у = f (х) является убывающей [ строго убывающей ] на некотором множестве Х, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е.
(" х 1, х 2ÎХ): (х 1< x 2) ® f (x 1)³ f (х 2) [ f (x 1) > f (х 2)],
Четные и нечетные функции определяются на симметричном относительно начала координат числовом множестве ХÍR, т.е. если " х ÎХ ® - х ÎХ.
Функция f (x) четная, если(" х ÎD(f)®- х ÎD(f))Ù (" х ÎD(f)® f (- х)= f (x)); функция f (x) нечетная, если (" х ÎD(f)®- х ÎD(f))Ù(" х ÎD(f) ® f (- х)=- f (x)).
Для четной функции график симметричен относительно оси Оу, а для нечетной – относительно начала координат.
Теорема 1. Сумма или разность двух чётных (нечётных) функций есть функция чётная (нечётная).
Теорема2. Произведение двух чётных или нечётных функций есть чётная функция.
Теорема3. Произведение чётной функции на нечётную функцию есть нечётная функция.
Теорема 4. Всякая функция f, заданная на симметричном относительно начала координат промежутке, может быть представлена в виде суммы чётной и нечётной функций.
Функция f (x) называется периодической, если существует такое число Т¹0 – период функции f, что (" x ÎD(f))®(х +Т, х –ТÎD(f)) и выполняется равенство f (x –T)= f (x)= f (x +T).
Если у функции f имеется период Т, то каждое число вида n T, где n ÎZ, n ¹0, также является периодом функции:
f (x + n Т)= f (x +(n –1)×Т+Т)= f (x +(n –2)×Т+Т)=...= f (x).
Для тригонометрических функций sin x, cos x наименьший положительный период Т=2p; а для tg x, ctg x Т=p.
Основные элементарные функции: а) y=c=const – константа; б) y=xa – степенная; в) y=ax (a>0) – показательная; г) y=logax (a>0, a¹1) – логарифмическая; д) y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx – тригонометрические; е) y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx – обратные тригонометрические.
