точка 
называется предельной точкой множества 
, если любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку из 
отличную от а.
Множество всех предельных точек для обозначают 
, поэтому: 
.
Сама предельная точка а может и не быть элементом Х. Слова «любая окрестность» означают, что в произвольной окрестности точки а содержится бесконечное число точек множества Х, из которых можно выделить бесконечную последовательность различных точек 
сходящуюся к а.
Определение предела функции в точке по Коши. Пусть функция f (x) определена всюду в окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а:
Û 
.
Определение предела функции в точке по Гейне. Число А является пределом функции f (x) в точке а, если функция определена в некоторой проколотой d-окрестности точки а и для любой последовательности 
значений аргумента, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции { f (xn)} сходится к А, т.е:
Ù 
.
Определения предела функции по Коши и Гейне равносильны.
Локальными назовем такиесвойства функции, которые зависят от ее поведения в малых окрестностях рассматриваемой точки. Существование 
и его значение – локальное свойство функции f (x).
Различные типы пределов
Число А 1 называют пределом слева функции f (x) в точке а и обозначают 
= 
= А 1, если 
.
аналогично для предела функции справав точке а 
: 
= А 2Û 
.
А 1, А 2 – односторонние пределы (характеризуют поведение функции в левой (правой) полуокрестности предельной точки.
Определим бесконечные пределы в конечной точке.
Функция f (x) имеет бесконечный предел 
, если она определена в некоторой проколотой окрестности точки а и 
Для произвольной e-окрестности бесконечно удаленной точки 
найдется проколотая окрестность 
точки а, что 
.
Пусть аргумент функции принимает по абсолютной величине сколь угодно большие значения. При этом несобственное число ¥ является предельной точкой множества D(f) и допустимо рассматривать предел на бесконечности: 
.
Из определения видно, что значения функции при х £d не влияют на величину предела при 
. При вычислении 
рассматривают поведение функции для достаточно больших х.
Поведение функции может изучаться на каком-то подмножестве D(f), поэтому вводится понятие предела по множеству.
Если функция f (x) существует в каждой точке некоторого множества EÍD(f) и а – предельная точка множества E, то число A называют пределом функции f в точке а по множеству E:
Û 
В отличие от прежнего определения из 
берутся только точки множества 
. Такой предел называют частичным. Односторонние пределы - разновидности частичных.
Рассмотрим функцию Дирихле 
Для доказательства того, что 
не существует, установим связь между пределом по множеству с частичными пределами.
Теорема. Пусть область определения функции разбита на два множества 
и а – предельная точка этих множеств. Для существования предела по всему множеству 
необходимо и достаточно, чтобы существовали частичные пределы функции 
по 
и 
, которые были бы равны между собой.
