Сравнение бесконечно малых функций

Пусть a(х), b(х) - б.м.ф. при . Хотя , все же характер приближения к 0 у них может быть различен.

Две б.б.ф. сравниваются по быстроте стремления к нулю через поведение их отношения при , где в окрестности а:

если =0, то есть б.м.ф. более высокого порядка;

если = , то a(х), b(х) - одного порядка малости;

если =1, то a(х)~b(х) эквивалентные б.м.ф. при ;

если =¥, то b(х) есть б.м.ф. более высокого порядка;

если не существует, то a(х), b(х) не сравнимы.

Бесконечно малые функции a(x), b(x) называются эквивалентными при (пишут a(x)~b(x)), если =1.

Эквивалентными при являются функции:

~ x, ~ x, ~ x, ~ x, ~ , ~ , ~a x, ~ x, ~ x.

При соотношения остаются в силе и при (при этом следует заменить х на a(х)): ln x =ln(1+(x –1)~(x -1) при x ®1.

Теорема 1 (о замене функций эквивалентными при вычислении пределов). Если при имеем две эквивалентные б.м.ф. a~a₁, b~b₁ и существует , то также существует предел отношения при и . (1)

Теорема 2 (признак эквивалентности б.м.ф). две б.м.ф. эквивалентны a(х)~b(x) при , тогда и только тогда, когда разность a(х)-b(х) при является б.м.ф. более высокого порядка, чем a(х) и b(х).