Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в точке a, если 
= f(a). (1)
Если при изучении понятия предела рассматривали проколотую d-окрестность точки а и функция могла быть не задана в самой точке а, то необходимым условием непрерывности в точке а является существование значения f(a).
Эквивалентные (1) определения непрерывности функции:
Определение непрерывной в точке функции по Коши. Функция f (x) непрерывна в точке х=а, если 
.
Определение непрерывной в точке функции по Гейне. Функция 
непрерывна в точке х=а, еслидля любой последовательности { xn } значений аргумента сходящейся к a, соответствующая последовательность значений функции { f(xn) } ® f(a)
Обозначим D х=х-а – приращение аргумента, тогда разность D у=f(x)-f(a)=f(a+ D х)-f(a) выражает приращение функции, соответствующее данному приращению аргумента D х. Из равенства (1) приходим к равносильному определению.
Определение непрерывной в точке функции в терминах приращений. Функция непрерывна в точке х=а, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. 
=0.
Определение односторонней непрерывности функции в точке. Если определена в полуинтервале (а -d, а ] и f(a-0)=f(a), то функция непрерывна слева в точке а. Для непрерывности справа требуется, чтобы хÎ[ a,a+d) и 
= f(a).
Точка х=а называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция либо не определена в точке a, либо определена, но не является непрерывной в ней.
Если не выполнено по крайней мере одно условие: 1) aÎD(f); 2) существует конечный предел = А; 3) f(a)=А, то а – точка разрыва функции f(x).
Классификация точек разрыва
Пусть х=а точка разрыва для f (x) и существуют конечные односторонние пределы f(a-0), f(a+0). Тогда х=а – точка разрыва функции первого рода. В случае, когда разность h = f(a+ 0 ) - f(a- 0 )¹ 0, то функция в точке а имеет скачок. При выполнении равенства f(a-0)=f(a+0) – устранимый разрыв (полагая f(a-0)=f(a+0)=f(a), функцию можно доопределить по непрерывности в точке а).
Если один (или оба) односторонних предела f(a-0), f(a+0) не существует либо бесконечен, то х=а – точка разрыва второго рода.
Свойства функций, непрерывных в точке:
1) всякая непрерывная в точке функция ограничена в некоторой окрестности этой точки: ($d>0)($c>0):(" 
®½ f(x) ½£c);
2) если f(x) непрерывна в точке х=а и f(a)¹0, то найдется такая d-окрестность точки а, в которой знак функции совпадает со знаком числа f(a), т.е. ($d>0):(" ® f(x)×f(a) >0).
3)если функции f(x), g(x) непрерывны в точке х=а, то в этой точке также непрерывны f(x) ± g(x), f(x)× g(x), f(x)/ g(x) (g(а) ¹0).
4) Если функция z= g(y) непрерывна в точке y0, а функция y= f(x) непрерывна в точке x0 (y 0= f(x0)), то в некоторой окрестности точки x0 определена сложная функция g(f(x)), которая непрерывна в точке х0
операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия непрерывной функции: 
= 
.
