Функция f(x) называется непрерывной на [ a,b ], если она непрерывна в каждой точке интервала (a,b), а также является непрерывной справа в точке a и непрерывной слева в точке b.
Теорема 1 (Вейерштрасс: об ограниченности непрерывной на отрезке функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a,b ], то она ограничена на нем.
gТребуется установить, что ($c>0): (" x Î[ a,b ]®½ f (x)½£c). (1)
Предположим противное, т.е. ("c>0) ($ x cÎ[ a,b ]): ½ f (x c)½>c. (2)
Полагая в соотношении (2) c=1,2, …, n, … получим, что ("nÎN) ($ x nÎ[ a,b ]): ½ f (x n)½>n. (3)
Из условия ("nÎN)® a £ xn £ b имеем, что последовательность {xn} ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность: ${ 
}: 
=x. (4)
В силу условия (3): ("kÎN) ® a £ £ b. (5)
Тогда из условий (4) и (5) по теореме о предельном переходе в неравенстве получаем xÎ[ a,b ]. функция f непрерывна, поэтому из условия (4) имеем: 
. (6)
С другой стороны, утверждение (3) выполняется ("nÎN): в частности, при n=nk (k=1,2,…), т.е. 
. Последнее означает: 
=+¥, так как при k®¥ также n®¥. Это противоречит условию (6), согласно которому последовательность значений функции 
имеет конечный предел. Условие (2) не выполнимо и справедливо утверждение (1).n
Теорема 2 (Вейерштрасс: о достижении точных граней непрерывной на отрезке функции). Если функция f (x) непрерывна на [ a,b ], то она достигает на нем своих точных граней, т.е.:
($ x, h Î[ a,b ]): (f (x) = 
Ù f (h) = 
). (7)
gПо теореме 1 функция f (x) ограничена, а у всякого ограниченного множества E(f) существуют точные грани: =M, =m. Проведем доказательство для ТВГ:
M= 
Û 1) 
, (8) 
. (9)
Полагая e = 1, 
, 
, …, 
.., в силу условия (9), получим последовательность { x n}: ("nÎN) ® (xnÎ[ a,b ] Ù f (x n) > M - ). (10)
Из условий (8), (10) заключаем: ("nÎN)®(M - < f (x n) £ M). Это означает, что для сколь угодно больших номеров n значения последовательности { f (xn)} мало отличается от М, т.е.: 
. (11). Аналогично способу доказательства предыдущей теоремы из ограниченной последовательности { x n} можно выделить сходящуюся подпоследовательность: =xÎ[ a,b ]. В силу непрерывности функции f(x) в точке x, имеем: . (12)
с другой стороны, 
– подпоследовательность сходящейся, согласно равенству (11), последовательности: 
®M. Поэтому =М. Учитывая единственность предела, из равенства (12) заключаем: f (x) =М= . n
Теорема 3 (Больцано-Коши: о промежуточных значениях). Если функция f(x) непрерывна на [ a,b ] и f(a)=A, f(b)=B, то ("CÎ[A,B]) ($xÎ[ a,b ]): f(x)=C.
gУбедимся, что непрерывная на отрезке функция, принимая какие-либо два значения, также принимает и любое, лежащее между ними, значение.
Пусть для определенности f (a)=A<B=f(b) и A<C<B. Разделим [ a,b ] точкой х 0 пополам. Тогда может быть:
1) f (x 0)=C, т.е. искомая точка x= х 0 найдена;
2) f (x 0)¹C, тогда на концах одного из отрезков функция принимает значения, лежащие по разные стороны от числа С (на левом – меньше С, на правом – больше С).
Обозначим такой отрезок [ a 1 ,b 1] и снова поделим его пополам, продолжая указанный процесс. В результате: либо через конечное число шагов придем к искомой точке x (f (x)=C); либо получим последовательность вложенных отрезков [ a n ,b n] по длине стремящихся к нулю, для которых выполнено неравенство: f(an) < C <f(bn). (13)
По теореме о вложенных отрезках существует общая точка x всех [ a n ,b n]: a n < x < b n Ù b n - a n = 
®0 при n®¥. В силу непрерывности функции f (x) и условий 
= 
=x имеем равенство:
= 
= f (x). (14)
Осуществим предельный переход в неравенстве (13): 
£С£ 
.
Учитывая соотношения (14), заключаем, что f(x)=C.n
Теорема 4 (Коши: о нулях непрерывной функции). Если непрерывная функция f(x) на концах [ a,b ] принимает значения различных знаков, то на [ a,b ] имеется хотя бы один нуль функции f (x).
Пусть функция f (x) непрерывна на D, т.е. она непрерывна в каждой точке 
:
. (15)
Непрерывность функции в точке - свойство локальное, так как оно связано с поведением функции в некоторой достаточно малой 
. Величина 
зависит как от 
, так и от выбора х 1. Покажем, что даже при фиксированном значения для разных точек не остаются постоянными.
Функция f (x) называется равномерно непрерывной на D, если: ("e>0)($d>0):("x1ÎD)(" x2ÎD): 
. (16)
Теперь число d зависит лишь от e. Свойство равномерной непрерывности (16) является глобальным (касается всего множества D). Неважно в каком месте берутся точки x 1, x 2Î D, лишь бы расстояние между ними было меньше d: тогда сразу соответствующие значения функции отличаются по абсолютной величине меньше, чем на e.
Из условия (16) следует (15), поэтому если 
- равномерно непрерывная функция, то она является непрерывной на D (если удалось найти d пригодное для всех значений х, то для каждой точки эта величина также найдена).
Теорема (Кантор). Всякая функция, непрерывная на отрезке [ a;b ], является равномерно непрерывной на нем.
