Пусть задана последовательность действительных чисел { xn }, сходящаяся к конечному пределу а: 
, т.е: ("e>0)($kÎN):"n>k ®| x n- a |<e/2.
Наряду с натуральным числом n>k в неравенство можно подставить и другое mÎN: m>k. Тогда 
: 
.
Тем самым доказано утверждение:
Если последовательность {xn} имеет предел, то для неё выполняется условие Коши:
. (1)
Последовательность чисел, удовлетворяющая условию Коши (1), называется фундаментальной последовательностью. Справедливо и обратное утверждение.
Теорема (критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {xn} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
По теореме Больцано-Вейерштрасса у всякой ограниченной последовательности существует сходящаяся подпоследовательность { 
}. Пусть 
. (3)
Докажем, что а является пределом исходной последовательности. Из определения предела (3):
. (4)
последовательность по условию фундаментальна, поэтому 
.(5)
Пусть N=max(k, k0). Фиксируем в (4) номер nK>N (такой номер найдётся, так как nK®¥ при k®¥). Тогда при m=nK и при всех n>N в силу (5) выполняется неравенство: 
. (6)
Неравенства (4), (6) выполняются одновременно при всех n>N. Поэтому
£ 
, т.е. | x n- a |<e ("n>N). Это означает что 
.
1.8. Число е как предел последовательности 
1. Методом математической индукции докажем неравенство Бернулли: (" х >-1)(" n ÎN)®(1+ x)n³1+ nx. (1)
Неравенство (1) справедливо при n =1.
Пусть при n=k неравенство (1) выполняется, т.е.
(1+ x)k³1+ kx. (2)
Докажем справедливость (1) при n=k +1. Умножим обе части неравенства (2) на (1+ х)>0:
(1+ x)k+1³(1+ kx)(1+ х) = 1+(1+ k) x + kx 2³ 1+(1+ k) x.
Из последнего, по принципу математической индукции, неравенство Бернулли доказывается для любого n ÎN.
2. Пусть 
, 
. Докажем, что последовательность { yn} монотонно убывает и ограничена снизу. Оценим отношение:
= 
= 
× 
= 
× = 
× ³
³ 
× > 
× =1.
Значит, (" n ÎN)® y n+1 < y n, т.е. { yn }монотонно убывает.
Учитывая неравенство Бернулли (1), имеем: 
³ 1+(n +1) 
=2+ > 2 ("nÎN),
т.е. { yn } ограничена снизу.
3. По теореме о пределе монотонной, ограниченной последовательности можно установить наличие предела для {уn}, т.е. 
у n= е. Значение предела нам пока неизвестно, но 2< e <3.
4. В произведении 
, предел которого известен, существует предел второго сомножителя 
=1. Поэтому можно установить и предел первого сомножителя: xn = е.
Число е является иррациональным и трансцендентным, т.е. нет алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, корнем которого было это число. Его значение мы установим во второй главе.
