Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число, то задается числовая последовательность 
:
х 1, х 2, х 3, …, х n, … (1)
Числовая последовательность (1) – это функция натурального аргумента.
Способы задания последовательностей:
1.Формулой n –го члена xn=f(n).
2. Рекуррентная форма задания позволяет находить члены последовательности через предыдущие элементы. Например, если { an } – арифметическая прогрессия с разностью d, то an=an–1+d=a1+d(n–1); для геометрической прогрессии {bn} со знаменателем q имеем b n =b n–1* q=b 1* q n–1.
3. Последовательность можно задать описанием её членов. Например, xn – простое число с номером n.
Число а называется пределом последовательности {xn}, если для каждого e>0 существует такой номер N, что для всех n>N выполняется неравенство½ xn–a ½ < e:
. (2)
При n > N имеем ½ xn–a ½< e Û –e< xn–a <e Û a–e<xn<a+e. число а – предел последовательности (1), если в произвольной e-окрестности точки а находятся все члены последовательности с номерами n > N.
Последовательность { x n} – сходящаяся, если она имеет конечный предел а. Если предел последовательности не существует или бесконечен, то { x n} – расходящаяся последовательность, т.е. 
: 
.
Теорема 1 (Ограниченность сходящейся последовательности). Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
gПусть 
, тогда ("e>0)($ k): ("n>k)® 
> e.
Из неравенства e >½ xn-a ½³½ xn ½-½ a ½ имеем½ xn ½<½ a ½+e ("n>k). Если обозначить М=mах{½ x 1½, ½ x 2½,¼, ½ x k½,½ a ½+e}, то "nÎN ½ x n½£M, т.е. { x n} – ограничена.n
Теорема 2. Если 
, (3) и а < b, (4)
то ($n0ÎN): ("n>n0)® x n< y n.
gПусть U=U(a), V=V(b) – какие-либо не пересекающие окрестности точек a, b. Из неравенства (4) следует, что
(" x ÎU) (" y ÎV) ® x < y. (5)
Согласно условию (3): ($n0ÎN):("n>n0) ®(x nÎU Ù y nÎV). Учитывая (5), получаем требуемое: x n< y n.n
Теорема 3 (Переход к пределу в неравенствах). Если 
, (6) то 
. (7)
Теорема 4 (О пределе промежуточной последовательности). Если последовательности { x n}, { y n}, { z n} таковы, что
"n>N0 x n £ y n £ z n, (8)
и 
, то предел промежуточной последовательности также равен а: 
.
