Рассмотрим числовую последовательность { х n}: х 1, х 2,…, х n,… (1)
Последовательность (1) называется возрастающей (неубывающей), если "nÎN, x n+1³ x n. Если имеет место x n+1> x n, то (1) – строго возрастающая последовательность.
Последовательность (1) называется убывающей (невозрастающей), если "nÎN, x n+1£ x n. В случае x n+1< x n, последовательность (1) строго убывает.
Последовательность (1) ограничена сверху [ снизу ], если ($bÎR):("nÎN) ® x n£b [ x n³b].
Аналогично точным граням числовых множеств можно ввести:
;
.
Теорема (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел:
;
.
gПусть последовательность { xn } ограничена сверху. По теореме о точных гранях существует число a =sup{ xn }: 
, (2) ("e>0)($ k): x k> a – e. (3) По условию { xn } – возрастающая последовательность, поэтому "n>k ® x k £ x n. (4)
Из условия (2) имеем: "nÎN ® x n£ a<a+e. (5)
Неравенство (5) подавно выполнено для n>k. Из условий (3), (4), (5) следует, что
,
т.е. 
и 
.n
