Признак сходимости монотонной последовательности

Рассмотрим числовую последовательность { х _n}: х ₁, х ₂,…, х _n,… (1)

Последовательность (1) называется возрастающей (неубывающей), если "nÎN, x _n+1³ x _n. Если имеет место x _n+1> x _n, то (1) – строго возрастающая последовательность.

Последовательность (1) называется убывающей (невозрастающей), если "nÎN, x _n+1£ x _n. В случае x _n+1< x _n, последовательность (1) строго убывает.

Последовательность (1) ограничена сверху [ снизу ], если ($bÎR):("nÎN) ® x _n£b [ x _n³b].

Аналогично точным граням числовых множеств можно ввести:

;

.

Теорема (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел:

;

.

gПусть последовательность { x_n } ограничена сверху. По теореме о точных гранях существует число a =sup{ x_n }: , (2) ("e>0)($ k): x _k> a – e. (3) По условию { x_n } – возрастающая последовательность, поэтому "n>k ® x _k £ x _n. (4)

Из условия (2) имеем: "nÎN ® x _n£ a<a+e. (5)

Неравенство (5) подавно выполнено для n>k. Из условий (3), (4), (5) следует, что

,

т.е. и .n