Модуль действительного числа

Модулем (абсолютной величиной) числа х ÎR называют:

½ х ½=

Геометрически модуль ½ х ½ (или½ х-у ½) выражает расстояние от точки х на координатной прямой до начала отсчета (расстояние между точками х и у). Справедливы свойства:

" х ÎR ½ х ½³0, (1)

" х,у ÎR ½ х ½=½- х ½, ½ х-у ½=½ у-х ½, (2)

" х ÎR -½ х ½£ х £½ х ½. (3 )

Докажем свойство (3).

при х ³0 имеем ½ х ½ = х Þ -½ х ½= - х £ 0 £ х =½ х ½ Þ (3).

при х <0 имеем ½ х ½ = - х Þ -½ х ½= х £ 0£ - х =½ х ½ Þ (3).

Теорема 1. ½ x ½£ a (a >0) Û - a £ x £ a. (4)

g Þ - a £ x £ a.

Пусть . Если х ³ 0, то Þ . Если х <0, то Þ Þ .n

Теорема 2. ½ x ½ ³ a (a >0) Û (5)

gДокажем методом от противного. Пусть вместо (5) справедливо – a<x<a. Тогда по теореме 1: , что противоречит условию. Посылка не верна и имеет место (5). n

Теорема 3. " a, b ÎR ½ a + b ½£½ a ½ + ½ b ½, (6)

½ a - b ½³½ a ½ - ½ b ½. (7)