Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.

В предыдущем параграфе формула распределения скоро­стей в плоском движении была получена из представления о перемещении точки плоской фигуры в виде геометрической суммы перемещения полюса и перемещения поворота вокруг полюса. Докажем следующую теорему: при всяком непоступательном дви­жении плоской фигуры существует точка фигуры, скорость которой в данный мо­мент равна нулю. Точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей фигуры(сокращённо МЦС). Пусть скорость точки Р равна нулю . Умножим написанное выражение векторно слева на вектор . Получим , раскрывая двойное векторное произведение, имеем

.

Первое слагаемое рано нулю, так как ,тогда получим

(2.18)

Модуль вектора равен , а его направление перпендикулярно скорости , так что скорости точек плоской фигуры можно рассматривать как враща-

Рис. 31 тельные скорости их вокруг мгновенного центра ско­ростей, а сам мгновенный центр — как мгновенный центр вра­щения плоской фигуры. Отсюда можно сделать следующий общий вывод: поле ско­ростей в фигуре, совершающей плоское движение, в каждый момент таково, как будто фигура вращается вокруг неподвиж­ного мгновенного центра, скорость любой точки плоской фигуры пропорциональна расстоянию до МЦС. При этом скорость любой точки пло­ской фигуры перпендикулярна к вектор-радиусу, соединяющему эту точку с мгновенным центром, и направлена в сторону вра­щения фигуры, а по величине пропорциональна расстоянию точки до мгновенного центра (рис. 31). В отличие от рассмотренного ранее случая вращения твер­дого тела вокруг неподвижной оси, где ось вращения была жестко связана с вращающимся телом и сохраняла одно и то же положение в неподвижном пространстве, относительно которого вращение происходило, в плоском движении мгновенный центр в каждый новый момент времени занимает другое положение как в движущейся фигуре, так и в неподвижной плоскости.

При движении плоской фигуры в ее плоскости мгновенный центр перемещается от одной точки фигуры к другой. Точно так же и в неподвижной плоскости мгновенный центр занимает все новые и новые положения. Траектория мгновенного центра в плоскости, связанной с дви­жущейся фигурой, образует кривую, называемую подвижной центроидой; точно так же траектория мгновенного центра в неподвижной плоскости называется неподвижной центроидой. Так, при катания без скольжения круглого колеса по прямолинейному рельсу все точки контура колеса при различных положениях его будут служить мгновенными центрами скоростей, следовательно, окружность является подвижной центроидой. Точки рельса будут служить мгновенными центрами в неподвижной плоскости и представлять непо­движную центроиду. Подвижная и неподвижная центроиды имеют в каждый момент времени общую точку — мгновенный центр, траекториями которого они служат. При движении плоской фигуры в своей плоскости, подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной.

Рассмотрим пример. Пусть задана скорость точки А и угол α, а также направление скорости точки В. Длина отрезка АВ= а. Надо найти скорость точки и угловую скорость вращения плоской фигуры. Так как проекции скоростей концов отрезка на направление отрезка равны, то откуда получаем

. (2.19) Из рис 32 видно, что или . Этот же результат можно получить с помощью МЦС. Мгновенный центр скоростей должен находиться на пересечении перпендикуляров к скоростям в точке Р. Из треугольника АВР следует, что . Тогда по теореме синусов .

Но , откуда . Получаем формулу (2.19). Из теоремы синусов и угловая скорость равна , после сокращений и используя (2.19) получаем

то же самое выражение, что и раньше.