Если в точке х = х0 первая производная функции f (х) = 0, то при х = х0 имеет место максимум, если 
< 0, и, минимум, если > 0. Если же = 0, то для заключения об экстремуме в этой точке требуется дальнейшее исследование.
Пример. Найти экстремумы функции 
.
Решение. Область определения: 
Значит, функция в точке х = 1 имеет максимум уmax (1) = 
1/е.
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то на этом отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает наибольшее и наименьшее значения. Этих значений функция достигает или в критических точках, или на концах отрезка [а, Ь]. Поэтому, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, надо:
определить критическое точка функции;
вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка [а, Ь];
наибольшее из значений, найденных в п. 2, будет наибольшим, а наименьшее - наименьшим значением функции на отрезке [а, Ь].
Точки перегиба.
Говорят, что на интервале (а, Ь) кривая обращена выпуклостью вниз, если она лежит выше касательной, проведенной в любой ее точке.
Говорят, что на интервале (а, Ь) кривая обращена выпуклостью вверх, если она лежит ниже касательной, проведенной в любой ее точке.
Дуги кривой, обращенные выпуклостью вверх, в дальнейшем будем называть выпуклыми, а обращенные выпуклостью вниз,— вогнутыми.
Дуга кривой у = f (х) выпукла на интервале (а, Ь), если во всех точках этого интервала (х) < 0, и вогнута на этом интервале, если во всех его точках (х) > 0.
Интервалы, в которых дуги кривой выпуклы, определяются из неравенства (х) < 0, а интервалы, в которых дуги этой кривой вогнуты, - из неравенства (х) > 0.
Точка кривой, отделяющая ее выпуклую дугу от вогнутой, называется точкой перегиба.
Точки, кривой, в которых (х) = 0 или (х) = 
, а также те из них, в которых (х) не существует, называются критическими точками второго рода. Точки перегиба следует искать среди критических точек второго рода.
В критической точке второго рода х = х0 перегиб будет только в том случае, когда при переходе через эту точку (х) меняет знак.
Для определения точек перегиба кривой надо определить все критические точки второго рода и рассмотреть знаки (х) в каждых двух соседних интервалах, на которые эти точки делят область существования функции. В случае, если знаки (х) в двух соседних интервалах различны, критическая точка второго рода является точкой перегиба. Если же в двух соседних интервалах (х) имеет один и тот же знак, то в рассматриваемой критической точке второго рода перегиба нет. В точке перегиба кривая пересекает касательную.
Пример. Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции
у = 5х2 + 20х + 9.
Решение. Область существования функции — интервал 
);
. и так как у" > 0 при любом значении х, то кривая вогнута на всем интервале ). Точек перегиба нет.
Пример. Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции
Решение. Область существования функции - интервал ).
Найдем у": 
.
При любом х вторая производная конечна и существует. Критическую точку второго рода найдем из уравнения у" = 0, т.е. из уравнения 
Интервал существования функции она разделяет на два: 
. При любом х из первого интервала у" < 0, а при любом х из второго интервала у" > 0, значит 
- точка перегиба, а так как на первом интервале у" < 0, то дуга кривой на нем – выпукла, а во втором у" < 0, и дуга кривой вогнута. Координаты точек перегиба (4,-125).
Асимптоты.
Если расстояние d от точки кривой у = f (х), имеющей бесконечную ветвь, до некоторой определенной прямой по мере удаления точки по этой кривой в бесконечность стремится к нулю, то прямая называется асимптотой кривой.
Различают асимптоты: 1) горизонтальные, 2) вертикальные и 3) наклонные.
1. Кривая у = f (х) имеет горизонтальную асимптоту у =b только в том случае, когда существует конечный предел функции f (х) при 
, и этот предел равен b, т. е. если
2. Кривая у = f (х) имеет вертикальную асимптоту х = а, если при 
. Для определения вертикальных асимптот надо отыскать те значения аргумента, вблизи которых f (х) неограниченно возрастает по абсолютной величине. Если такими значениями аргумента являются а1, а2, …, то уравнения вертикальных асимптот будут
х = а1, х =а2…
3. Для определения наклонной асимптоты у = kx + b кривой у = f (х) надо найти числа k и b из формул
(следует отдельно рассматривать случаи 
). Наклонные асимптоты у кривой у = f (х) существуют в том и только в том случае, когда эти пределы имеют конечное значение. При определении этих пределов удобно пользоваться правилом Лопиталя.
Пример. Найти асимптоты кривой 
Решение. Горизонтальных асимптот нет. Вертикальную асимптоту находим из условия
2х + 3 = 0 => х = - 3/2, при этом у 
, когда 
, у 
, когда 
. Определим наклонные асимптоты, уравнение которых имеет вид: у = kx + b
Так как k и b имеют конечные значения и равны между собой при х и при х , то имеется единственная наклонная асимптота, уравнение которой
