Если у = f(u) и u = u(x), то есть 
- сложная функция, причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые, то 
. Аргумент u часто называют промежуточной переменной. Это правило выполняется для сложной функции, которая имеет конечное число промежуточных аргументов. Если, например, у = f(u) и u = u(v), v=v(x), то 
, если f(u), u(v) и v(x) - дифференцируемые.
Формулы дифференцирования основных функций
1. 
8. 
2. 
, 
9. 
,
3. 
10. 
4. 
11. 
5. 
6. 
12. 
7. 
13. 
Примеры. Найти производные функций:
1. у = х4 – 2х3 + 3х + 1
Решение. Используя правила и формулы дифференцирования, получаем: 
(х4 – 2х3 + 3х + 1)' = 
= 
.
2. 
Решение. Поскольку 
, то 
= 
.
3. 
Решение. Имеем произведение функций, поэтому 
4. 
Решение. Данная функций является сложной: у = f(u), u = u(x), где u = х2 + 2х..
Дифференцирование неявно заданных функций
Равенство 
обозначает у как неявную и дифференцированную функцию от х. Продифференцировав по х обе части равенства, получим линейное, относительно 
равенство, из которого получим значение .
Пример. Найти 
, если у > -5:
(1)
Решение. Поскольку у функция от х, то у2 – сложная функция и 
. Продифференцируем обе части равенства по х:
(2)
Подставляя в равенство (1) х = 0, получим
откуда
Поскольку у > -5, то 
. Используя (2), имеем 
.
Логарифмическое дифференцирование
Логарифмической производной функции у = f(x) называется производная от логарифма этой функции:
В некоторых случаях предварительное логарифмирование значительно упрощает дифференцирование функции, а для функции вида 
есть единственно возможным способом дифференцирования.
Примеры:
Найти производную функции 
.
Решение: Логарифмируя обе части равенства получаем
, откуда
.
Поэтому, 
= 
= 
Найти производную показательно-степенной функции 
.
Решение: Имеем 
= = 
Производные высших порядков.
Производную или 
называют производной первого порядка функции f(x). Производная 
называется производной второго порядка и обозначается одним из символов: 
. В общем виде производную n –го порядка (или n-ой производной) называется производная от производной порядка (n – 1), то есть 
. Обозначения, например: 
.
Пример. Найти производную n –го порядка функции у = cos x.
Решение. Последовательно дифференцируя, получим:
у = cos x = сos(x+0 
)
x = cos(x+1 )
x = cos(x+2 )
x = cos(x+3 )
……………………………….
cos(x+n ), n= 
Параметрически заданные функции и их дифференцирование
Первую производную функции, заданной параметрически
находим по формуле 
.
Вторую производную удобно вычислять по формуле: 
.
Пример. Найти производную второго порядка функции 
Решение. Согласно формуле: 
Далее, 
.
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя дает возможность раскрыть некоторые виды неопределенности, используя производную. Оно основывается на данной ниже теореме.
Теорема. Пусть функции 
и 
определенные и дифференцируемые в окружности точки 
, за исключением, возможно, самой точки а, и пусть 
в этой окружности. Если функции и являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими при 
и к тому же существует отношение производных 
, то существует также предел 
, причем эти пределы равны между собой: = .
Теорема справедлива и в том случае, когда 
. Если производные 
и 
, n > 2, удовлетворяют тем же самым условиям, что и функции и , то = 
.
Теорема дает возможность раскрыть неопределенность типа 
, которые будем называть основными. Чтобы раскрыть неопределенности типа 0, 
необходимо вначале привести их к основным и применить правило Лопиталя.
Пример.
1. 
2. 
= 
3. 
4. 
5. 
Откуда, 
.
6. 
, действительно,
.
Напомним, что во многих случаях пользуемся равенством 
.
