Пример. Даны матрицы А и В.; .

Найти произведение матриц АВ.

Решение:

 

АВ= · = =

Пример. Даны матрицы А и В. А = и В = .

Решение: А = (2X3), В = (3X2) => АВ = (2X2)

АВ= · = =

Свойства умножения матриц:

1) АВ¹ВА;

2) (АВ)С=А(ВС);

3) АЕ=ЕА=А

4) (АВ)k = (AB)k= A(Bk)

5) (A+B)C = AB +BC

6) A(B+C) = AB + AC/

Транспонированной матрицей А^T называется матрица, у которой строки записаны вместо столбцов, а столбцы – вместо строк.

 

Пример. Пусть дана матрица А= , тогда

А^T =

 

Определители.

Определителем второго порядка, соответствующий матрице А = , называется число = а ₁₁ а ₂₂ - а ₁₂ а ₂₁.

Пример. Вычислить определителем второго порядка.

= 1 · (-3) – 2 · 4 = -11.

Определителем третьего порядка, соответствующий матрице

А = , называется число = а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₁+ а₁₃а₂₁а₃₂ - а₁₃а₂₂а₃₁ - а₁₂а₂₁а₃₃ –а₁₁ а₂₃а_32.

Чтобы запомнить какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком «+», а какие со знаком «-», полезно правило названное правилом треугольника, изображенное на рис. 1.

 

«+» «-»

Рисунок 1.

Пример. Вычислить определитель

Второй способ вычисления определителей третьего порядка – это способ вычисления определителей третьего порядка, заключается в дописывании первых двух столбцов, в нахождении произведений по главной диагонали и параллелях к ней и по побочной диагонали и параллелях к ней.

= а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₁+ а₁₃а₂₁а₃₂ - а₁₃а₂₂а₃₁ - а₁₂а₂₁а₃₃ –а₁₁ а₂₃а_32.

Свойства определителей:

 

1) Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то его знак изменится на противоположный.

2) Если в определителе поменять местами строки и столбцы, то его знак и величина не изменится.

3) Если в определителе две строки пропорциональны (равны), то он равен нулю.

4) Если в определителе какую либо строку (столбец) умножить на некоторое число и сложить с другой строкой (столбцом), то его значение не изменится.

5) Если в определителе элементы какой либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

6) Если определитель содержит нулевую строку или столбец, то он равен нулю.

Минором М_ij элемента определителя а_ij называется определитель, получаемый из исходного путем вычеркивания i - ой строки и j -ого столбца на которых расположен этот элемент.

Алгебраическим дополнением А_ij элемента определителя а_ij называется минор умноженный на (-1) ^i+j.

Третий способ вычисления определителей – с помощью теоремы разложения.

Теорема разложения: Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка , разложив определитель по элементам первой строки.

Решение:

Способ 1.

= 5· (-1)¹⁺¹· + 3 · (-1)¹⁺² · + 2·(-1)¹⁺³ · = 68.

Этот же определитель можно вычислить с помощью свойства 4), а затем применить теорему разложения. В нашем примере образуем нули в первом столбце. Для этого к элементам первой строки прибавим элементы второй строки, умноженной на 5, а к элементам третьей строки прибавим элементы второй строки, умноженной на 7. И полученную матрицу разложим по элементам первого столбца.

Решение:

Способ 2.

 

= = 0 - (-1) +0 = =13 · 34 – 17 · 22 = 68.