Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравне­ниями

Напомним, что асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, которая обладает тем свойством, что когда точка по кривой удаляется в бесконечность, ее расстояние до этой прямой стремится к нулю.

 

4. Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а пря­мая — ее директрисой.

Простейшее уравнение параболы

y²= 2 px

Входящая в это уравнение величина р называется параметром параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса.

Координаты фокуса F параболы F(, 0). Уравнение директрисы параболы

. Эксцентриситет параболы е= 1.

 

Пример. Составить простейшее уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами ее равно 20, а расстояние между фокусами 30.

Решение:

Вершины гиперболы лежат на ее действительной оси. По условию 2а = 20; 2с == 30. Значит, а = 10; с = 15 а² = 100; с² = 225.

Величины а, и и с у гиперболы связаны соотношением а² +b² = с²; отсюда

b ² = с² —а² = 225 — 100 Þ b ² = 125. Значит, уравнением гиперболы будет

Пример. Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет е= 1,4. Найти уравнение гиперболы.

Решение:

По условию а = 5, значит а² = 25. По формуле е = =1,4, отсюда с = 1,4·а = 1,4 · 5 = 7; с ² = 49; b ² = с ² - а² = 49 — 25 = 24, b ² =24

Иско­мым уравнением будет

Пример. Найти уравнение асимптот гиперболы 2 x² - 3 y² = 6.

Решение:

У гиперболы две асимптоты, определяемые урав­нениями Следует найти a и b.

Приведем уравнение гиперболы к простейшему виду, разде­лив обе его части на 6. Получим

Отсюда заключаем, чт а² =. 3, а = ; b ² = 2, b == . Подстав­ляя эти значения а и b в уравнения асимптот получаем: ;

 

IV. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Функция одной переменной

 

Если каждому значению переменной х (аргументу) из некоторого множества Х ставится в соответствие одно значение у из множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция f (x)со множеством значений Y, где Х – область определения функции, Y – область значения функции, или у является функцией от х и записывают у = f(x). Если функция задана аналитически, то областью существования функции (иначе, областью значения функции) называется совокупность тех действительных значений аргумента, при которых аналитическое выражение определяющее функцию, принимает только действительные значения.

Графиком функции у = f(x) называется множество точек (х, f(x)). Графиком пользуются для геометрического изображения функций. Графики многих функций строят с помощью параллельного переноса, растяжения или сжатия основных элементарных функций: степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической и обратных тригонометрических.

Функция у = f(x) называется четной, если выполняется равенство . График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция у = f(x) называется нечетной, если выполняется равенство . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример: Найти область значения функции:

Решение:

.

 

Предел функции.

 

Число А называется пределом функции при х , если для любого сколь угодно малого существует число такое, что при . Это записывают так: . Аналогично определяется предел при х .

Функция называется бесконечно большой при х , если и бесконечно малой при х , если . Аналогично определяются бесконечно большие и бесконечно малые при х .

При вычислении пределов необходимо знать такие теоремы:

- Const.

Если и существуют, то

Для всех основных элементарных функций в произвольной точке их области определения справедливо равенство

;

Const.

5. ,

Бесконечно малые и называются эквивалентными при х , если . Это записывают так:

Если при , то выполняются эквивалентности:

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Предел отношений двух бесконечно малых не изменится, если заменить их эквивалентными величинами.

При вычислении пределов часто используют: