Второй замечательный предел
или 
Вычисление предела сводится к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Если при этом получаем неопределенности типа 
, то вычисление этого предела в этом случае называется раскрытием неопределенности.
Пример. Найти предел:
1. 
, здесь раскрываем неопределенность типа 
, поделив числитель и знаменатель на 
, где n = 5 (наивысшая степень х).
2. 
, здесь раскрыта неопределенность типа 
, поделив числитель и знаменатель на (х-2).
3. 
= 
,здесь, раскрывая неопределенность , избавились от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на сопряженный множитель 
.
4. 
= 
.
В этом примере неопределенность раскрыли, используя первый замечательный предел и формулы эквивалентности.
5. 
в этом примере неопределенность 
раскрывается с помощью второго замечательного предела.
Непрерывность функции
Функция называется f(x) называется непрерывной в точке х0,, если она определена в некоторой окрестности этой точки и выполняется равенство
,
где 
, 
односторонние (левый и правый) пределы.
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке х0.
Когда у функции f(x) имеются односторонние пределы 
и 
и не все числа f(x0), f(x0 - 0) и f(x0 + 0) равны между собой, то разрыв в точке х0 называется разрывом I рода. Величина 
называется скачком функции.
Если 
, то разрыв в точке называется устранимым. Здесь полагая 
получают функцию непрерывную в точке х0.
Если хотя бы один из односторонних пределов 
не существует или равен бесконечности, то разрыв называется разрывом II рода.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она называется непрерывной на этом промежутке.
Алгебраическая сумма, произведение и суперпозиция конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Отношение двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель не равен нулю. Отсюда следует, что всякая элементарная функция непрерывна в точках, в которых она определена.
Пример. Исследовать на непрерывность:
1. 
имеет в точке х=2 разрыв I рода, поскольку 
. Скачек функции в точке х=2 равен 
 |
.
2. Функция f(x) = 
не определена в точке х = -1, потому в этой точке она имеет разрыв. Поскольку 
и 
, то в точке х = -1 функция имеется разрыв II рода.
 | |||||
 | |||||
Дифференциальное исчисление.
Производная. Техника дифференцирования.
Обозначение
Производной функции у = f(x) в точке х0 называется предел 
или 
, где 
= x2 –x1 – приращение аргумента, 
= у2 – у1 - приращение функции на отрезке [x1, x2]. Функция f(x) называется дифференцированной в точке х, если в этой точке существует производная 
. Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) в точке х, т. е. 
. Если функция дифференцируема в каждой точке промежутка Х, то ее называют дифференцированной на промежутке Х.
Основные правила дифференцирования.
Будем считать, что u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции, а С – постоянная. Тогда:
4. 
5. 
