Для получения уравнения Бернулли необходимо просуммировать энергию всех элементарных струек жидкости и потери энергии при её движении.
Обозначим через Э1 и Э2 полные энергии потока в двух произвольно взятых сечениях 1-1 и 2-2. Тогда баланс энергий для взятой жидкости выразится уравнением:
Э1=Э2+ 
, (3.30)
где – полная энергия, потерянная жидкостью при движении на рассматриваемом участке.
Запишем баланс средних удельных энергий потока. Для этого поделим уравнение (3.30) на весовой расход потока 
. Получим:
, (3.31)
где 
– средняя потеря удельной энергии потока жидкости между сечениями 1-1 и 2-2, равная
. (3.32)
Данная зависимость является уравнением Бернулли для потока вязкой жидкости в первичном виде. Для получения уравнения в развёрнутом виде необходимо раскрыть выражения средних удельных энергий, каждое из которых сложится из средней потенциальной 
и средней кинетической 
энергии потока.
Поскольку для параллельно-струйных потоков величина удельной потенциальной энергии является постоянной во всех точках поперечного сечения потока жидкости, то средняя потенциальная энергия в каком-либо сечении может быть определена как сумма удельной энергии давления и удельной энергии положения, т.е.:
. (3.33)
Для определения среднего значения удельной кинетической энергии сначала найдём кинетическую энергию для всего потока жидкости в данном сечении. Полную кинетическую энергию найдём интегрированием энергий по всем элементарным струйкам в пределах данного сечения, перед этим умножим удельную кинетическую энергию струйки на элементарный весовой расход 
. (3.34)
Поскольку распределение скорости по живому сечению определить довольно сложно, найдём кинетическую энергию потока через условную кинетическую энергию 
, вычисляемую по средней скорости
(3.35)
где 
- расход потока по массе жидкости.
Кинетическая энергия, подсчитанная по средней скорости, всегда меньше фактической кинетической энергии.
Отношение действительной кинетической энергии к кинетической энергии, подсчитанной по средней скорости обозначим через 
.
. (3.36)
Тогда фактическая кинетическая энергия выразится зависимостью:
. (3.37)
Поделив кинетическую энергию на весовой расход потока, найдём среднюю кинетическую энергию потока
. (3.38)
Тогда средняя удельная энергия потока в каком-либо сечении будет равна:
. (3.39)
Подставляя (3.39) в уравнение (3.31), окончательно получим уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости
, (3.40)
где 
и 
- коэффициенты кинетической энергии (Кориолиса), выражающие отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, вычисленной в предположении, что скорости во всех точках живого сечения равны средней скорости потока (или характеризующие неравномерность распределения скоростей в соответствующих поперечных сечениях потока).
При практическом применении уравнения Бернулли (3.40) следует иметь в виду, что оно приемлемо только для параллельно-струйных потоков и потоков с плавно изменяющимся движением жидкости. Значения геометрических высот и давлений, входящих в это уравнение для напорных потоков принято брать по точкам, лежащим на оси потока.
Значения поправочных коэффициентов 
в общем случае могут изменяться в пределах от = 1, для абсолютно невязких жидкостей до = 2, для потоков, движущихся в ламинарном режиме. В практических расчётах при турбулентном режиме движения жидкости обычно принимают =1.05 … 1.10. В тех случаях, когда величина 
>> 
без особых потерь точности можно принимать =1.
3.8 Уклоны: геометрический, пьезометрический и гидравлический
Геометрическим уклоном называется падение геометрической линии струйки или потока жидкости на единицу длины. Для элементарной струйки, показано на рис. 3.8, на участке длиной l между сечениями 1-1 и 2-2 полное падение геометрической линии S-S равно разности геометрических высот 
.
Средний геометрический уклон на
Рис. 3.8 этом участке равен
. (3.41)
В случае, когда геометрическая линия криволинейна
. (3.42)
За геометрическую линию напорных потоков (в трубах) обычно принимается их осевая линия.
Пьезометрическим уклоном называется падение пьезометрической линии П-П на единицу длины струйки или потока жидкости.
. (3.43)
При криволинейной пьезометрической линии
. (3.44)
Гидравлическим уклоном называется падение напорной линии Н-Н на единицу длины струйки или потока жидкости
. (3.45)
Так как, 
, то гидравлический уклон выражает так же потерю напора на единицу длины струйки или потока жидкости.
. (3.46)
При криволинейной напорной линии
. (3.47)
Следует отметить, что геометрический и пьезометрический уклоны в различных случаях могут быть и положительными и отрицательными. Гидравлический уклон всегда положителен.
