Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Идеальной несжимаемой жидкости




Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости, находящейся под воздействием только одной массовой силы – силы тяжести, и выведем для этого случая основное уравнение, связывающее между собой давление в жидкость и скорость её движения. Впервые эту задачу решал Даниил Бернулли в своём знаменитом сочинении «Гидродинамика» в 1738 году. Однако классическую форму, в которой основная закономерность движения жидкости известна ныне как уравнение Бернулли, придал этому закону Л. Эйлер в 1755 г.

Возьмём одну из струек, составляющих поток, и выделим сечениями 1-1 и 2-2 участок этой струйки произвольной длины.

Рис.3.4

Пусть площадь первого сечения 1, скорость в нём u1, давление р1, а высота расположения центра тяжести сечения относительно произвольно взятой горизонтальной площади – z1. Во втором сечении соответственно 2, u2, p2 и z2. За бесконечно малый промежуток времени, выделенный нами участок струйки, переместится в положение 1’ – 2’ (1-2 →1’-2’). Применим к этому участку струйки теорему механики о том, что работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела. Такими силами в данном случае являются силы давления и сила тяжести

dAд+dAт= dЭк. (3.11)

Подсчитаем работу сил и изменение кинетической энергии участка струйки за время dt.

1. Работа силы давления сложится из суммы работ сил давления в 1 и 2 сечениях, которые в свою очередь выразятся как произведения силы рdΩ на путь udt. В первом сечении направление сил положительно (+), во втором – отрицательно (–), следовательно:

dAд = р1 u1 1 dt – р2 u2 2 dt. (3.12)

2. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения участка струйки. Поэтому из энергии положения жидкости в объёме 1-2 вычтем энергию положения жидкости в объёме 1’-2’. При этом энергия положения промежуточного объема 1’-2 сократится и согласно уравнению неразрывности видно, что объёмы, а, следовательно, и вес отрезков 1-1’ и 2-2’ равны между собой, то есть

dG1 = dG2 = dG = γ u1 1 dt = γ u2 2 dt. (3.13)

Поэтому работа сил тяжести будет равна произведению разности высот на вес жидкости

dAт = (z1 – z2)dG. (3.14)

3. Приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки найдём как разность кинетической энергии объёма 1’-2’ и 1-2.

к = (u22 – u12) . (3.15)

Сложим уравнения (3.12) и (3.14) и приравняем к уравнению (3.15):

p1 u1 1 dt – p2 u2 2 dt + (z1 – z2)dG = (u22 – u12) . (3.16)

Разделим это уравнение на вес dG и после соответствующих сокращений получим:

. (3.17)

Сгруппируем в левую и правую части уравнения члены, относящиеся к 1 и 2 сечениям:

. (3.18)

Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для струйки идеальной несжимаемой жидкости.

Составляющие уравнения имеют линейную размерность и называются:

z – нивелирная высота или геометрический напор; - пьезометрическая высота или пьезометрическим напор; - скоростная высота или скоростной напор; z + - статическая высота (напор). Трёхчлен вида называется полным напором.

 

Так как сечения 1 и 2, для которых мы получили уравнение Бернулли, были взяты произвольно, то и для любого другого сечения этой струйки полный напор будет величиной равной и постоянной, то есть:

. (3.19)

Итак, для идеальной движущейся жидкости сумма трёх высот: нивелирной, пьезометрической и скоростной есть величина постоянная вдоль струйки.

Из уравнения Бернулли и уравнения расхода следует, что если площадь поперечного сечения струйки уменьшается, то есть струйка сужается, то скорость движения жидкости увеличивается, а давление уменьшается, и, наоборот, если струйка расширяется, то скорость уменьшается, а давление увеличивается.

Рассмотрим энергетический смысл уравнения Бернулли. Условимся называть удельной энергией жидкости энергию, отнесённую к единице веса, то есть:

Е = Э/G = Дж/Н = м. (3.20)

Удельная энергия имеет линейную размерность, так же как и члены уравнения Бернулли. Нетрудно доказать, что члены этого уравнения являются различными формами удельной механической энергии жидкости, а именно:

z – удельная энергия положения, так как частица жидкости весом ΔG, находясь на высоте z, обладает энергией положения, равной ΔG∙z, а на единицу веса приходится энергия z = ;

– удельная энергия движущейся жидкости, так как частица жидкости весом ΔG при давлении р имеет способность подняться на высоту и тем самым приобретает энергию положения ΔG. После деления на ΔG получаем .

z + – удельная потенциальная энергия жидкости; – удельная кинетическая энергия жидкости; – полная удельная энергия движущейся жидкости.

Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-12; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 680 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Либо вы управляете вашим днем, либо день управляет вами. © Джим Рон
==> читать все изречения...

2258 - | 1997 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.008 с.