Формально систему объектов рода i можно рассматривать как конечное или бесконечное множество объектов-систем, заданное посредством такого основания Аi которое включает в себя a Í { Аi(0)}, r Í { Ri}, z Í {Zi}. Это отождествление позволяет автоматически переносить понятия и теоремы теории конечных и бесконечных, неразмытых и размытых множеств на область ОТС и тем самым развивать последнюю и как теорию конечных и бесконечных, неразмытых и размытых систем. Именно путем простого переноса знаний мы докажем существование важных для ОТС законов соответствия и симметрии. Однако прежде чем давать их определения и приводить теоретико-множественные схемы их доказательств, сделаем необходимые пояснения.
По аналогии с теорией множеств будем считать, что бесконечная система объектов-систем рода В —SB = {a, b, c,...} имеет ту же мощность, что и бесконечная система объектов-систем рода С — Sc = (a,b,g,...}, если существует взаимно однозначное соответствие между объектами-системами этих систем хотя бы по одному какому-нибудь закону (a)f = a (где f — закон функционального отношения). В силу сказанного можно утверждать, что Sc равномощно SB, и писать | SC| ~ | SB|, где знак ~ (тильда) есть одновременно знак эквивалентности, поскольку определенное таким образом отношение есть отношение эквивалентности.
Очевидно, понятие одинаковой мощности для конечных систем объектов сводится к понятию равного числа объектов-систем, к равночисленности. Это означает, что понятие мощности есть обобщение понятия числа элементов. И подобно тому как для двух конечных систем родов В и С с числом элементов n1, и n2 возможно только одно из трех соотношений n1=n2, n1>n2, n1 <n2, для двух бесконечных систем объектов S1 и S2 с мощностями, выраженными кардинальными числами m1, и m2, также возможно лишь одно из трех соотношений m1 = m2, m1 >m2, m1 <m2.
Предложения 24, 25. Законы соответствия и симметрии. Между любыми двумя системами объектов-систем S1 и S2 возможны соотношения лишь следующих четырех видов:
1) S1 и S2 взаимно эквивалентны и симметричны;
2) в S1 есть собственная часть, эквивалентная и симметричная S2, а в S2 есть собственная часть, эквивалентная и симметричная S1.
3) в S1 есть собственная часть, эквивалентная и симметричная S2, но в S2 нет собственной части, эквивалентной и симметричной S1;
4) в S2 есть собственная часть, эквивалентная и симметричная S1; но в S1 нет собственной части, эквивалентной и симметричной S2.
Соотношение (5) такое, что в S1, нет собственной части, эквивалентной и симметричной S2, и в S2 нет собственной части, эквивалентной и симметричной S1; такое соотношение невозможно.
Предложение 24. Закон соответствия, как и в теории множеств, в ОТС доказывается посредством аксиомы выбора Э. Цермело. Кроме того, важно учесть, что, согласно теореме Г. Кантора — С. Н. Бернштейна, гласящей «если каждое из двух множеств (систем) эквивалентно части другого, то данные множества эквивалентны», случай (2) сводится к случаю (1). Отсюда следует несовместимость соотношений m1=m2, m1<m2, m1>m2, где m1, m2— мощности соответственно S1 и S2.
Предложение 25. Закон симметрии, заключающийся в том, что существование между произвольными системами S1 и S2 симметрии одного из четырех, а с учетом теоремы Кантора — Бернштейна — трех родов, выводится по крайней мере из того, что а) отношение эквивалентности (в нашем случае — «равномощности»), так или иначе реализующееся между системами, уже содержит требование взаимной симметричности, в чем мы убедились, анализируя отношение «равенство — симметрия»;
б) взаимно однозначные отображения, посредством которых установлены четыре (три) перечисленных в законе соответствия вида эквивалентности, представляют собой каждый раз совокупность отображений, являющуюся математической группой относительно принятого в ней закона композиции отображений. Действительно, такая совокупность (1) содержит тождественное отображение е, переводящее каждый элемент k Í Si (i =l,2) в себя; (2) для каждого отображения a: a®a' системы S1 в S2 содержит ему обратное a--1: a' ® a системы S2 в S1; (3) вместе с каждой парой отображений a, b содержит их произведение ab.
Учитывая поставленные в этом разделе задачи, остановимся подробнее на законе симметрии. Согласно этому закону, существует, во-первых, межсистемная симметрия между любыми двумя системами родов А и В, во-вторых, внутрисистемная симметрия. Если же SA и SB рассматриваются как подсистемы некой новой системы SC, то можно говорить о симметрии системы в целом.
Очевидно, мы придем не к 4(3), а к большему числу межсистемных симметрии, если будем сопоставлять SA и SB по их системообразующим параметрам, т. е. по 1) m; 2) r; 3) z; 4) m, r; 5) m, z; 6) r, z; 7) m, r, z, которым в случае sa соответствуют 7 множеств: {МA} {RA}, {ZA}, {MA, RA}, {MA, ZA}, {RA, ZA}, {MA, RA, ZA}, а в случае SB — 7 множеств: {МB} {RB}, {ZB}, {MB, RB}, {MB, ZB}, {RB, ZB}, {MB, RB, ZB}. Между любыми множествами первых семи совокупностей и любыми множествами вторых семи совокупностей в свою очередь можно обнаружить различные эквивалентности и симметрии — всего 7´7 = 49 родов (типа: {МA} ~ {МB}, {МA} ~ {RB} …. {MA, RA, ZA} ~ {MB, RB, ZB}, a c yчeтом трех принципиальных разновидностей (перечисленных в законах соответствия и симметрии) —49´3=147 видов.
Подобным образом мы придем не к 4(3), а к 28 внутрисистемным симметриям, если будем каждое из 7 множеств — {М}, {R}, {Z}, {M, R}, {М, Z}, {R, Z), {М, R, Z} — системы SA или SB сопоставлять как с самим собой, так и с любым другим множеством из 6 оставшихся. При учете же трех принципиальных разновидностей таких внутрисистемных симметрий будет, естественно, не 28, а 28´3 = 84. Всего же для произвольных систем SA и SB возможно 49 + 28´2= 105 родовых и 105´3 = 315 видовых меж- и внутрисистемных симметрий.
Мы придем к иным классам системного изоморфизма и симметрии, если последние будем рассматривать с точки зрения 9 видов полиморфизма. Очевидно, согласно логике, мы обязаны 9 видов полиморфизма дополнить 9 видами системного изоморфизма и симметрии (см. схему выше) и еще 36 — из-за возможного изоморфизма между любыми парами полиморфизмов из 9 возможных. В итоге мы получим 45 различных системных изоморфизмов и симметрии, а с учетом трех возможных разновидностей — 45´3= 135.
В учении о системных соответствиях и симметриях можно существенно продвинуться, если учесть, что требованиям законов соответствия и симметрии отвечают все формы существования материи — пространство (П), время (В), движение (Д) — и их «носитель», субстрат (С). Новые классы изоморфизма и симметрии можно вывести посредством следующих рассуждений.
Теоретически возможны такие 15 систем объектов данного типа: П, В, Д, С, ПВ, ПД, ПС, ВД, ВС, ДС, ПВД, ПДС, ВДС, ПВС, ПВДС. Если же различать порядок компонентов, то подобных систем будет 64. С учетом их изомерийных, неизомерийных и изомерийно-неизомерийных случаев таких систем будет в первом случае 15´3 = 45, во втором — 64´3 = 192. С точки зрения законов соответствия и симметрии между любыми двумя системами объектов данных родов — одного и того же или разных типов — возможны соотношения эквивалентности и симметрии одного из трех родов. Тогда число возможных эквивалентностей и симметрии без учета и с учетом трех их разновидностей будет 120 и 360 — для систем 15-ти; 1035 и 3105 — для систем 45-ти; 2080 и 6240 — для систем 64-х, 18528 и 55584—для систем 192 разных типов. Отметим, что число возможных эквивалентностей и симметрии — ån и полнота перебора определялись посредством формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии вида ån = (а1 +аn) • n/2 (где а1 — первый, аn — n-й член прогрессии). Например, для систем 15 разных типов å15 = (1 + 15) • 15/2= 120 разным эквивалентностям и симметриям.
Закон системного сходства
Понятие «эквивалентность» в законе соответствия можно заметить понятием «системный изоморфизм», поскольку первая — частный случай второго и второй предъявляет к сопоставляемым системам менее жесткие требования, чем первая. Это сразу же приводит к закону системного изоморфизма — закону системного сходства, а тем самым автоматически к 4(3), 315, 360, 3105, 6240, 55584 (соответственно перечисленным выше числам видов симметрии и соответствий), к механическим, физическим, химическим, геологическим, биологическим, социальным, а также к пространственным, временным, динамическим, субстанциональным системным изоморфизмам.
В философском плане эти выводы интересны тем, что они одновременно приводят к экспликации новых понятий об основных и производных формах существования материи, об основных и производных формах пространства, времени, движения, субстанции, а также об основных и производных формах их сочетаний и размещений по 1, 2, 3 и 4. Как и в случае введения нового понятия «формы изменения материи», здесь также речь идет о содержательных вещах. Например, понятию «основные и производные формы существования материи» отвечают
3 3
3 основных (П, В,Д) и 4 (åCi3=4) или 12 (åAi3) производных
i=2 i=2
способов существования, в частности пространственно-временной, имеющий огромное значение в теории относительности А. Эйнштейна.
Не все виды сходства, т. е. признаки, по которым могут быть сравнены системы, всеобщи и столь фундаментальны, как отношение, выраженное законом системности. Это обстоятельство ставит новый для ОТС вопрос о порождении и уничтожении сходства (по сравниваемым признакам). Здесь мы остановимся лишь на вопросе о числе и виде способов преобразований типа «несходное «сходное», «различие «сходство».
Очевидно, для того чтобы сходство (объекта-системы с самим собой, между объектом-системой и продуктами его изменения, только между продуктами его превращения) возникло, необходимы преобразования. Согласно центральному предложению ОТС, отдельный объект-система может быть преобразован 8 способами: в себя — тождественным преобразованием, в другие объекты — 7 другими способами (количественным, качественным, относительным и скомбинированными из них). В табл. 8 содержатся наглядные модели шести из них, которые мы можем дополнить моделями двух отсутствующих в ней преобразований: 1) тождественным — «сон ® сон», 2) относительным — «сон ® нос», «сон ® онс».
Что касается порождения сходства преобразованием совокупности объектов-систем, то число способов будет равно не 8, а 255 при неразличении порядка или большему числу при различении порядка комбинируемых превращений. Табл. 7 имплицитно содержит модели по существу 127 способов из 255 возможных. Эту же таблицу можно рассматривать и как таблицу 127 моделей преобразования сходного в несходное, несходного в сходное. Материалы этих таблиц удерживают от скоропалительного вывода об общности причин и механизмов возникновения, основываясь лишь на исходных объектах-системах.
Таковы главные положения обобщенного учения об изоморфизме. В его научной значимости легко убедиться, сопоставляя учение ОТС об изоморфизме с какой-нибудь достаточно развитой концепцией об изоморфизме, например с представлениями о биоизоморфизме, развитыми в рамках уже не СТЭ, а номогенетической теории эволюции Л. С. Берга [6].
Учение ОТС об изоморфизме, на наш взгляд, позволяет развить номогенетическую концепцию о сходстве вообще, биологическом в особенности, прежде всего благодаря, во-первых, экспликации изоморфической модификации в виде объекта-системы, а сходства, системного изоморфизма — в виде системы объектов одного и того же рода; во-вторых, теоретическому выводу единых для неживой, живой природы и общества законов сходства — изоморфизации, соответствия, симметрии, системного изоморфизма, сохранения системного сходства. Из их признания сразу следует вывод о неизбежности изоморфизации любых объектов-систем на всех уровнях их организации, всех их фундаментальных особенностей — субстанциональных, пространственных, временных, динамических. Именно на этом, правда применительно лишь к биосистемам, настаивал Л. С. Берг (6), предлагая на основании огромного эмпирического материала универсальный для живой природы закон биологического сходства — закон конвергенции[3]. Он считал, что этот закон охватывает как параллелизм, т. е. сходство организмов, обязанное их родству (таково, например, сходство близнецов), так и конвергенцию — сходство организмов, обязанное одинаковым условиям существования (например, в водной среде; таково сходство между сельдевой акулой и дельфином). Кроме того, законом конвергенции он пытался охватить и случаи сходства, обязанные «известному единообразию законов природы» [6. С.287]. Однако Л. С. Берг не смог ни сформулировать единообразные законы природы, ни привести хотя бы один пример порождаемого ими особого вида сходства. Тем не менее он был глубоко прав: неожиданное для биологов подтверждение номогенез получил в ОТС.
В ОТС были сформулированы некоторые единые для всей природы законы системности, преобразования объектов-систем, поли- и изоморфизации, соответствия, симметрии, системного сходства, системной противоречивости и непротиворечивости, а также установлен «порождаемый» этими законами новый тип сходства — системная общность. Последняя не сводима ни к одному из типов сходства, известных в естественных и общественных науках, в частности к параллелизму и конвергенции, известным в биологии. Системная общность связана просто с различными реализациями одной и той же абстрактной системы того или иного рода.
Примерами такого сходства могут служить математический изоморфизм между 16 изомерами листьев липы и 16 изомерами альдогексоз (Ю. А. Урманцев), между общей структурой генетического кода, рядом биномиального разложения 26, икосаэдром, додекаэдром, химическим соединением бареной и радиолярией циркорегма додекаэдра (А. Г. Волохонский, Ю. А. Урманцев); сходство гомологических рядов развития животных и растений с гомологическими рядами спиртов и углеводородов (Е. Д. Коп и Н. И. Вавилов), биоэволюции, биоценоза, естественного отбора с техноэволюцией, техноценозом, информационным отбором (Б. И. Кудрин) и т. д. Число подобных примеров можно без труда увеличить.
Все эти сходства не являются следствиями родства или (и) одинаковых условий существования. В свое время это дало нам повод сформулировать афоризм: «Сходно не всегда сходно по причине родства или одинаковых условий существования или по причине того и другого». Существование системной общности, разумеется, несколько усложняет наши представления о природе сходства. Но если ее не учитывать, то можно прийти к ошибочным выводам, в частности к построению ложных «древ жизни», как показал С. В. Мейен на примере работ английского палеоботаника Р. Мельвилля [54].
До возникновения ОТС различного рода соответствия, скажем, между качественно различными рядами развития или между законами различных областей природы и общества, или между числами-характеристиками качественно различных систем... и т. д. устанавливались эмпирически и, как правило, многими наивно рассматривались как чисто случайные совпадения. Между тем, может быть, впервые в науке ряд законов ОТС такого рода «абсолютно случайные» совпадения не только предполагает, но и требует.
В-третьих, развитию номогенетической концепции о сходстве способствует предложение алгоритма построения системного изоморфизма и алгоритма предсказания сходства, а также открытие ряда новых случаев математического изморфизма между некоторыми биологическими и небиологическими изомерийными системами.
В-четвертых, это возможно и благодаря выводу десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч новых классов системного сходства. Покажем значение этого вывода на конкретном примере. Как известно, помимо параллелизма и конвергенции, известных со времен Р. Оуэна (1843 г.), Л. С. Берг [6] различал еще четыре вида сходства, впоследствии названных [96] гетеротопным (сходство пород собак Старого и Нового Света), гетерохронным (повторное образование моллюсков рода Вола в разное геологическое время; это так называемое повторное видообразование по Кокену), гетеродинамическим (сходство генетических систем управления и контроля разных организмов по их основным принципам функционирования), гетеросубстратным (сходство разных субстратов — животных, дрожжевых грибов, бобовых растений, в частности, по субстрату же — наличию у них разновидностей гемоглобина). Оказывается, если ограничиться даже только приведенными 4 основаниями сходства, а именно П, В, Д, С (не говоря уже о других основаниях), то даже в этом случае ОТС позволяет весьма существенно дополнить список различных сходств перечнем 360 возможных эквивалентностей, симметрии и изоморфизмов для систем 15 и 55 584 — для систем 192 разных типов.
В-пятых, разработка номогенетической концепции существенно продвигается вперед и благодаря принципиально новому выводу всех, в том числе «полифилетических», способов поражения или уничтожения сходства — 8 для отдельного объекта-системы, 255 — для их совокупностей. Вне ОТС такой вопрос в науке не поставлен.
В-шестых, изучение любого изоморфизма, в том числе биологического, минералогического, химического и т. д., не только во всеобщей связи и взаимообусловленности, но и в системе конкретных изоморфизмов, исследуемых другими науками, также способствует развитию номогенеза.
В-седьмых, развитие рассматриваемой концепции в значительной мере углубляется за счет выполнения требования изучать изоморфизм (сходство) в единстве с его противоположностью — полиморфизмом (различием) в качестве его равноправного и необходимого дополнения. Между тем в СТЭ очень существенно недооценивают, а в номогенезе переоценивают значение изоморфизмов в живой природе при одновременной переоценке («синтетисты») или недооценке («номогенетики») значения в ней полиморфизма. Высказанные здесь соображения о СТЭ и номогенезе с новых сторон подтверждают глубокую правоту критических оценок К. Марксом и Ф. Энгельсом эволюционного учения Ч. Дарвина [50. Т. 30. С. 475; Т. 34. С. 133, 134].
Основываясь на главных предложениях ОТС и учения о поли- и изоморфизме, симметрии и диссимметрии, мы разовьем далее системный подход прежде всего к ряду философских проблем — к отношениям противоречия и непротиворечия, взаимодействия, одностороннего действия и взаимонедействия, к проблемам единства и многообразия мира, изменения и развития.