Остановимся далее на третьем способе порождения объектов-систем — изменениях одних отношений между «первичными» элементами на другие. Одновременно приведем решающие доказательства эвристичности нашего варианта ОТС.
Предложение 10. Третий закон преобразования композиций системы. Если в системе Si, в которой объекты-системы, изменяя одни отношения между «первичными» элементами на другие, переходят в иные два и более объектов-систем, то в ней имеет место изомерия.
Доказательство. Изомерия есть система объектов одного и того же рода, состоящая из объектов-систем, одинаковых по составу — числу и виду —«первичных» элементов, но различных но взаимоотношениям последних. Математически изомер суть перестановка, изомерия — множество перестановок, или размещений, из n «первичных» элементов по n. Из сказанного видно, что условие предложения 10 и условия, приводящие к существованию изомерии, а именно тождественность по составу и различия по межэлементным отношениям, совпадают. Отсюда в системе S с f такими подмножествами Мi(S) (f =1, 2, 3,...; i = 1, 2, 3,..., f), композиции которых одинаковы по соответствующему для i -го подмножества составу «первичных» элементов, но различны по взаимоотношениям последних, по определению должно иметь место f различных изомерий. Предложение 10 доказано.
Действию закона изомеризации подвержены все формы движения материи. Поэтому изомерия должна быть присуща каждой из них, что и подтверждается открытиями изомерии — химической (Ф. Велером, Ю. Либихом, И. Я. Берцелиусом в 1822—1830 гг.), ядерно-физической (О. Ганом в 1921 г.), биологической (Ю. А. Урманцевым в 1956—1957 гг.), социальной (Ю. А. Урманцевым в 1974 г.), геологической (И. П. Шараповым, В. Ю. Забродиным в 1977—1979 гг.). Открытие геологической изомерии и детальное ее изучение были осуществлены на основе предсказаний нашего варианта ОТС и благодаря детальному использованию общей теории изомерии, развитой в его рамках. В монографии «Симметрия природы и природа симметрии» [91] мы привели примеры химической, ядерно-физической, биологической и социальной изомерии, а в монографии В. Ю. Забродина «Системный анализ дизъюнктивов» [29] даны многочисленные примеры геологической изомерии.
Закону изомеризации подчиняются не только формы движения, но и формы существования материи. Учет этого обстоятельства способствовал резкому расширению традиционного учения об изомерии благодаря выводу о существовании не только изомеров-структур (тел), но и изомеров-пространств, изомеров-движений, изомеров-времен [88; 91; 92]. В табл. 5 приводится перечень 4 основных и 64 основных и производных изомерий важнейших форм существования материи, причем в этом списке 63 изомерии оказались новыми, а 15 связаны только с пространством, временем, движением.
В упомянутой книге мы привели примеры изомеров-пространств, изомеров-движений, изомеров-времен. Здесь дадим примеры только изомеров-пространств. Очевидно, в соответствии с законом изомеризации изомерией пространств мы должны считать явление существования множества пространств одного состава, но с различными межэлементными отношениями. Таковы, например, пары левых и правых диссимметрических пространств — континуумов, семиконтинуумов, дисконтинуумов, классическая симметрия которых исчерпывается лишь элементами первого рода. Понятно, что с точки зрения теории диссфакто-ров [94] или, скажем, кратной антисимметрии [30] каждое такое изомерное множество может состоять не только из пары, но и из большего числа изомерных пространств. Другим примером является множество состояний пространства, которые переходят друг в друга в результате различных автоморфизмов — одно-однозначных отображений данного пространства на себя.
Таблица 5. Список 64 фундаментальных изомерии и симметрии (из них новых изомерии — 63, новых симметрий — 60,61;
П — пространственная, В — временная, Д — динамическая, С — субстанциональная)
| № п. п. | Изомерия (симметрия) | № п. п. | Изомерия (симметрия) | № п. п. | Изомерия (симметрия) |
| П | двп | ВПДС | |||
| В | пдс | В ДПС | |||
| Д | псд | ДПВС | |||
| с | дпс | двпс | |||
| пв | ДСП | пдсв | |||
| вп | спд | псдв | |||
| пд | сдп | дпсв | |||
| дп | вдс | дспв | |||
| ПС | вед | спдв | |||
| СП | две | сдпв | |||
| вд | дев | вдсп | |||
| дв | сдв | всдп | |||
| ВС | спд | двсп | |||
| ев | иве | дсвп | |||
| дс | пев | свдп | |||
| сд | впс | сдвп | |||
| пвд | всп | пвсд | |||
| пдв | спв | псвд | |||
| впд | свп | впсд | |||
| вдп | пвдс | вспд | |||
| дпв | пдвс | спвд | |||
| свпд |
Таблица 6. Список 54 структурных изомерии и симметрии
(из них новых изомерий — 53, новых симметрий — 40; под. - подобия, конф.— конформная, афф.— аффинная, пр.- проективная, топ— топологическая, кр.— кратная, цв. - цветная)
| № п.п. Изомерия (симметрия) | № п. п. Изомерия (симметрия) | № п.п Изомерия (симметрия) |
| 1 классическая | 19 конформная | 37 проективная |
| 2. анти- | 20 конф. анти- | 38 пр. анти- |
| 3 кр. анти- | 21 конф. кр. анти- | 39 пр. кр. анти- |
| 4 цв. | 22 конф. цв. | 40 пр. цв. |
| 5. цв. анти- | 23 конф. цв. анти- | 41 пр. цв. анти- |
| 6. цв. кр. анти- | 24 конф. цв. кр. анти- | 42 пр. цв. кр. анти- |
| 7. кр. цв. | 25 конф. кр. цв. | 43 пр. кр. цв. |
| 8. кр. цв. кр. анти- | 26 конф. кр. цв. кр. анти- | 44 пр. кр. цв. кр. анти- |
| 9. крипто- | 27 конф. крипто- | 45 пр. крипто- |
| 10. подобия | 28 аффинная | 46 топологическая |
| 11. под. анти- | 29 афф. анти- | 47 топ. анти- |
| 12. под. кр. анти- | 30 афф. кр. анти- | 48 топ. кр. анти- |
| 13. под. цв. | 31 афф. цв. | 49 топ. цв. |
| 14. под. цв. анти- | 32 афф. цв. анти- | 50 топ. цв. анти- |
| 15. под. цв. кр. анти- | 33 афф. цв. кр. анти- | 51 топ. цв. кр. анти- |
| 16. под. кр. цв. | 34 афф. кр. цв. | 52 топ. кр. цв. |
| 17. под. кр. цв. кр. анти- | 35 афф. кр. цв. кр. анти- | 53 топ. кр. цв. кр. анти- |
| 18. под. крипто- | 36 афф. крипто- | 54 топ. крипто- |
Классификация изомерии по виду операций, посредством которых одна изомерная структура переходит в другую изомерную структуру, позволила вывести 54 структурные изомерии, из которых 53 оказались существенно новыми. Это крипто-, простые и кратные анти - и (или) цветные — классическая, подобия, конформная, аффинная, проективная, топологическая изомерии (см. табл. 6).
В настоящее время закончено построение моделей каждой из 54 изомерий, кроме того, установлена возможность удвоения, утроения и т. д. числа структурных изомерий за счет изменения закона комбинирования качеств (+, —; цветных, крипто-) как друг с другом, так и с основными геометрическими преобразованиями (евклидовыми, подобия, конформными и т.д.).
Изучение с точки зрения ОТС даже известной стереохимикам оптической, или, строже, диссимметрической изомерии, помогло нам [94] доказать существование трех типов диссизомерий: I типа (старого), число изомеров S для которого Sk° k° = 2 k° (изомерия альдогексоз и листьев липы); II типа (нового), S для которого
(его примеры — изомерия пираногексоз и изолированных корней некоторых растений); III типа (также нового), S для которого S1o+k1 =2k1 (изомерия пираногексоз с k0 = 0 и циклических венчиков с нечетным числом взаимно перекрывающихся лепестков).
Проанализируем теперь связь учения об изомерии с теорией групп и симметрии, центральным предложением ОТС и проблемой «состав — строение — свойство». Тем самым мы продолжим построение общей теории изомерии.
Изомерия и симметрия. Связь изомерии с симметрией доказывается посредством теории групп подстановок. Дело в том, что эту теорию и вообще математическое учение о перестановках содержательно можно интерпретировать как учение об изомерии. В самом деле, с точки зрения математики изомер — это перестановка, изомерия — множество перестановок, изомеризация — это подстановка, верхняя строка которой означает предмет, а нижняя — результат изомеризации; следующие друг за другом изомеризации есть произведение подстановок. Совокупность всех подстановок для действия умножения подстановок образует группу подстановок. Следовательно, совокупность всех изомеризации для действия «умножения» изомеризации также образует группу — группу изомерии, а следовательно, выявляет и определенного рода изомерийную симметрию, которая предстает как сохранение состава изомеров при изомеризациях. Благодаря этим операциям одни изомеры данной совокупности переходят в другие изомеры той же совокупности, а вся совокупность по составу «первичных» элементов и составу изомеров «совмещается сама с собой». Сказанное позволяет сформулировать следующее предложение.
Предложение 11. Всякая конечная группа всех изомеризации n -й степени — группа In — изоморфна группе всех подстановок n -й степени — группе Sn.
Математический изоморфизм теории групп подстановок теории групп изомерии позволяет автоматически переносить знания из первой области во вторую. В частности, имеет место следующее.
Теорема Кэли. Всякая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе группы всех подстановок n -й степени. Следующее предложение — ее изомерийный аналог.
Предложение 12. Всякая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе группы всех изомеризации n -й степени. Отсюда сразу получаем предложение 13.
Предложение 13. Всякая конечная группа симметрии порядка n изоморфна некоторой подгруппе группы всех изомеризации n -й степени.
Изоморфизм симметрии и изомерии, установленный здесь по крайней мере для их конечных групп, позволяет — благодаря возможности переноса знаний из одной области в другую — по меньшей мере, во-первых, считать список 64 фундаментальных и 54 структурных изомерии списком также 64 фундаментальных и 54 структурных симметрий. Сказанное объясняет, почему упомянутые таблицы 5 и 6 есть таблицы также симметрии — известных и впервые найденных; во-вторых, ввести представления о непрерывных и дискретных преобразованиях изомерии, конечных и бесконечных группах изомерии; в-третьих, ввести представление о размерности изомерии.
Будем считать изомерию n -мерной (n = 0, 1, 2, 3), если каждый изомер данной совокупности обладает n -мерной симметрией — точечной, линейной, плоской, пространственной. Например, изомерия асимметричных альдогексоз состава С6Н12О6 или асимметричных листьев липы — 0-мерная, потому что каждому из 16 изомеров соответственно альдогексозы и листа липы присуща точечная группа симметрии (1). Изомерия побегов растений с левым или правым листорасположением — одномерная, потому что каждому изомеру побега присуща одномерная, или линейная, симметрия, описываемая одной из групп симметрии «стержней». Однако нередко при изомеризациях симметрия изомера меняется. Например, в зависимости от ионной силы и температуры раствора молекулы РНК могут существовать то в виде «клубков», обладающих точечной симметрией, то в виде «нитей», обладающих одномерной симметрией. Соответственно и изомерия таких объектов будет не n -мерная, a n1 — n2 —...— nk -мерная. В приведенном примере она 0—1-мерная.
В-четвертых, появляется возможность предложить новую идею о возможности развития теории групп n1 — n2 —...— nk -мерной симметрии, в которой размерность объекта при преобразованиях симметрии уже не оставалась бы инвариантной.
В-пятых, это позволяет сделать новый для классической теории структурной симметрии вывод о возможности реализации любого диссимметрического (правого или левого) или недиссимметрического объекта соответственно в виде не двух или одного, а двух или большего (в пределе бесконечного) числа модификаций. Данный вывод прямо следует, например, из возможности существования любого диссимметрического или недиссимметри-ческого изомера в виде двух или большего числа изомерных, а шире — полиморфических модификаций. Тот же вывод следует из развитой нами теории диссфакторов [91; 94].
Изомерия и центральное предложение ОТС. Казалось бы, изомерия может быть порождена только благодаря относительному преобразованию. Однако в статье «О значении основных законов преобразования объектов-систем для биологии» мы писали «о возможности возникновения изомерии от исходных объектов всеми семью способами» [98. С. 132]. В табл. 7 приведены «лингвистические», разумеется сугубо условные, модели всех семи способов порождения изомерии. Из таблицы видно, что вопреки широко распространенным представлениям изомерия может возникнуть посредством, казалось бы, и неизомеризационных способов.
Таблица 7. Лингвистические модели порождения изомерии — множества {сон, нос} — семью способами
| № | Способ | Модель |
| Количественный | сонный ------ (- «ный»)-------à сон ноский -------(- «кий») ------à нос | |
| Качественный | кон --------- (к->с) --------à сон нож ---------- (ж ->с) --------à нос | |
| Относительный | нсо --------------------------------------à нос нсо ---------------------------------------à сон | |
| Колич + Кач | соринка --- (-«инка») àсор --- р->н --à сон тоска --------(-«ка») ---à тос ---т->н --à нос | |
| Колич + Относ | носки ---- (- «ки») ---à нос -----------à сон сновидение –(- «видение») --à сно --à нос | |
| Кач + Относ | дом --- (д ->с)—(м ->с) ---àнос -------à сон сор --------(р ->н) ---------àсон -------à нос | |
| Колич + Кач + Относ | домкрат –(-«крат») àдом –(д-> н)—(м-> с) àнос à сон соратник --(-«атник»)--à сор--- –(р ->н)-- àсон --à нос |
Столь же неверным является и другое традиционное мнение, будто сугубо изомеризационное — относительное — преобразование всегда приводит к возникновению изомерии. В действительности такое преобразование может приводить к превращению изомерной совокупности в изомерную же (например, множества {сон, нос} — во множество {нсо, сно}), неизомерной — в неизомерную (например, множества {сон} — во множество {нос}), неизомерной — в изомерную и наоборот (например, множества {сон} — во множество {нос, нсо} или множества {нос, нсо} — во множество {сон}).
Неправильным оказывается и третье традиционное представление о том, что лишь при относительном преобразовании состав изменяемых объектов не изменяется. В действительности и шесть остальных —«неизомеризационных»— преобразований могут породить изомерию без изменения состава исходных объектов (см. табл. 8). Если бы «реакции» (табл. 8) протекали в обратном направлении, то мы получили бы лингвистические модели порождения неизомерной совокупности (сон) из изомерной {нос, онс} без изменения состава посредством шести «неизомеризационных» способов.
Табл. 7, 8 позволяют также сделать вывод о том, что при изучении процессов во времени важно учитывать порядок преобразований. Это приводит к необходимости оперирования уже не с сочетаниями, а с размещениями четырех основных преобразований, т. е. не с å C4i= 15, а, в частности, с å A4i = 64 преобразованиями. Только такой подход дает возможность правильно представить реальные механизмы преобразования совокупностей объектов-систем.
Далее. Эти же таблицы помогают избежать скоропалительных выводов о характере механизма тех или иных процессов исходя из знания лишь исходных и конечных продуктов «реакции», поскольку им могут быть присущи самые различные механизмы.
В табл. 7 приведены лингвистические модели семи способов порождения изомерии. Очевидно, таких вариантов порождения изомерии было бы лишь семь, если бы изомерия могла возникнуть под действием только любого одного из семи способов преобразования на каждый объект исходной совокупности. Однако объекты исходной совокупности — {Ми}— могут быть преобразованы в объекты-изомеры изомерной совокупности — {Миз} —«действием» не только одного из семи, но и любых двух, трех из восьми, наконец, восьми из восьми способов преобразования. И тогда число возможных вариантов преобразования {Ми} в {Mиз} равнялось бы Cl7 + C28 + C38+...+ С88 = 254.
Таблица 8. Лингвистические модели порождения изомерии — множества (нос, онс) шестью «неизомеризационными» способами без изменения состава исходного объекта
| № | Способ | Модель |
| Количественный | сон ------ (- «с», -«н»)---- à о ---(+ «н», +«с»)à нос сон ------ (- «с», -«н»)---- à о ---(+ «н», +«с»)à онс | |
| Качественный | сон ------(с-> н) --------- (н ->с)------------------ à нос сон ------(с-> о) --------- (о ->н) ---- (н->с)-----à онс | |
| Колич + Кач | сон -- (-«с») àон - (+«с») à онс-(н-> о)-- (о ->н) à нос сон -- (-«н») àсо - (+«н») à нсо-(н->о)- (с->н)- (о ->с) à онс | |
| Колич + Относ | сон -- (-«с») àон ---- (+«с»)----à онс----------à нос сон -- (-«н») àсо -----(+«н»)--- à нсо----------à онс | |
| Кач + Относ | сон ------(н-> о) --------- (о ->н)---- à сно ----------- à нос сон ------(с-> н) --------- (н ->с) ----à нос -----------à онс | |
| Колич + Кач + Относ | сон -- (-«н») àсо - (+«н»)à нсо-(н->о)- (с->н)- (о ->с) à онс àнос сон -- (-«с»)àон - (+«с») à онс-(о->н)- (н->с) àнос à онс |
Здесь первый член суммы взят в виде С17, а не С18, потому что учтено следующее обстоятельство: само по себе тождественное преобразование не может породить изомерию, переводя {Mи} снова в {Mи}. Однако в сочетании с другими способами оно может приводить к изомерии. Например, пусть {Mи} = {сон}, т. е. состоит из одних лишь слов «сон». Если бы на эту совокупность «действовал» лишь один из способов, например 3 —«относительный», и только так, что каждое слово «сон» из {Mи} он превращал бы только в слово «нос», то мы получили бы новое множество М = {нос) и изомерия не возникла бы. Однако та же самая совокупность {Mи} = {сон) могла бы быть преобразована в {Mиз} = {сон, нос} в результате «частичной изомеризации», т. е. если бы на одну ее часть «действовало» тождественное, на другую — относительное преобразование. Естественно, тождественное преобразование может комбинироваться и с любыми другими преобразованиями из семи возможных для объектов-систем, и точно так же (хотя бы в согласии с табл. 8) приводить к изомерии.
Разумеется, если бы «реакции» протекали в обратном направлении, то число возможных преобразований {Mиз} в {Mи} тоже равнялось бы 254. В результате доказано следующее предложение.
Предложение 14. Неизомерная совокупность объектов-систем может быть преобразована в изомерную и наоборот 254 различными способами.
По-видимому, данные преобразования можно рассматривать как модель преобразований любых совокупностей объектов-систем, в том числе изомерийно-неизомерийных. Если к тому же в целях логической полноты учитывать как отдельное преобразование и тождественный переход, то способов преобразований одних совокупностей в другие будет, естественно, не 254, а 255. Тот же результат имеем по формуле
n 8
å Cin = 2n-1 т. е. å Ci8 = 28-1 = 255, что и требуется предложением 4.
i=l i=l
Разумеется, при различении порядка преобразований (а это важно, например, при изучении протекания реакций во времени) число вариантов «переделок» может возрасти до бесконечности из-за многократных реализаций одних и тех же преобразований. Очевидно, лишь при однократном их «использовании» число таких вариантов было бы равно
8
å Ai8 = 109 600
i=l
Аналогично, если бы мы исходили не из центрального предложения ОТС, а из более дробной табл. 1, т.е. не из 8, а из 15 основных и производных преобразований объекта-системы, то мы также имели бы не 255, а
15
å Сi15 = 32 767
i=l
вариантов преобразований одних совокупностей объектов-систем в другие.
Изомерия и проблема «состав — структура — свойство». Вопрос о строении и свойствах изомеров — один из самых фундаментальных и практически значимых. Тем не менее до сих пор нет строгих ответов на следующие вопросы: 1. Обязательно ли различия изомеров по строениям (межэлементным отношениям) влекут за собой различия их и по свойствам? 2. Неизбежно ли различия изомеров по свойствам обусловливают их различия и по строению? 3. Насколько изомеры могут отличаться друг от друга? Если учесть, что об отличиях объектов друг от друга обычно судят по различиям их отношений к другим объектам, то ответом па вопросы 1 и 3 является предложение 15.
Предложение 15. Если два изомера (И1, и И2) различаются но строению, то они отличаются друг от друга и по бесчисленному множеству отношений Rj (j = l, 2,..., ¥) к другим объектам. Истинность предложения 15 следует из истинности значительно более общего утверждения.
Предложение 16. Если два произвольных объекта А и В различаются хотя бы по одному признаку П так, что ПА ¹ ПВ, то тогда существует бесчисленное множество отношений Rj (j = l, 2, 3,..., ¥) к другим объектам, по которым они также различаются. Это суждение нами высказывалось и раньше, например в статье «Начала общей теории систем» [см. 92], но там оно не было доказано. Поэтому обоснуем его справедливость.
Первоначально примем во внимание следующую аксиому: «Пусть А и В — различные объекты. Тогда существует хотя бы одно отношение R с другими объектами, по которому А и В не тождественны. В противном случае А и В тождественны».
Из аксиомы следует, что если произвольные А и В — различные объекты, то для них существует хотя бы одно отношение — обозначим его R1,— по которому они не тождественны, т.е. R1A ¹ R1B. Однако, согласно этой же аксиоме, для R1A и R1В существует по крайней мере одно отношение — обозначим его R2,—по которому они также нетождественны, т.е. R2R1A ¹ R2R1B; далее для R2R1A и R2R1B существует хотя бы одно отношение R3, так что R3R2R1A ¹ R3R2R1B. И вообще для любых RnRn-1 ... R1A и RnRn-1,... R1B существует хотя бы одно такое отношение Rn+l, при котором Rn + 1Rn... R1A ¹ Rn+1Rn... R1B и так до бесконечности. Следовательно, предложения 15, 16 истинны.
Кстати, хорошей фактической иллюстрацией к сказанному служат так называемые зеркальные — правые (D) и левые (L) — химические изомеры, например D- и L-глицериновые альдегиды. Такие изомеры действительно отличаются друг от друга по бесчисленным отношениям к другим объектам — к линейно, кругово, эллиптически- поляризованному свету, к множеству D и L элементарных частиц, к бесчисленному множеству D и L химических соединений, к D и L биообъектам, людям правшам и левшам и т. д.
Ответ на вопрос «Обязательно ли различие изомеров по свойствам указывает на их различия по строению (межэлементным отношениям)?» дает предложение 17.
Предложение 17. Если два изомера (И1 и И2) различаются по свойствам, то они отличаются друг от друга и по строению. Как и ранее, о различиях изомеров по свойствам будем судить по различиям их отношений к другим объектам. Тогда справедливость предложения 17 можно установить посредством следующего суждения.
Предложение 18. Если два произвольных объекта (А и В) различаются хотя бы по одному отношению R так, что RA ¹ RB, то они обладают таким, хотя бы одним, признаком П, что ПА ¹ ПВ.
Предположим, что А и В не обладают хотя бы одним признаком П, по которому они различаются. Тогда эти объекты тождественны и, согласно приведенной аксиоме, не должно быть отношения R, по которому они различались бы. Однако такое отношение существует, и, следовательно, объекты А и В различны, поэтому существует хотя бы один признак П у А и В, по которому они различаются.
В случае изомеров как изомеров-систем таким П не может быть состав и закон композиции: по этим признакам они, по определению изомерии, тождественны. Остается лишь один признак — различия по межэлементным отношениям (строению). Следовательно, из различия изомеров по их свойствам действительно следует сделать вывод об их отличии друг от друга по строению, т. е. по межэлементным отношениям.
Таким образом, с точки зрения закона изомеризации изомерия не всеобща, она присуща лишь определенному классу систем. В то же время требованиям данного закона отвечают специальные случаи каждой формы движения и каждой формы существования материи. Уже одно это позволяет считать изомерию общенаучной категорией. Однако изомерия имеет не только общенаучный, но и глубокий философский смысл, и прежде всего потому, что относительный способ превращения объектов-систем (переход одних отношений между «первичными» элементами в другие) суть не просто рядовой способ превращения, а форма изменения материи, далее неразложимая и несводимая к другим ее формам. Как уже говорилось, с точки зрения ОТС относительная форма изменения материи — это один из четырех основных, «первичных» способов преобразования одних объектов-систем в другие.
К сожалению, фундаментальный характер изомерии, имеющей непосредственное отношение к генезису, симметрии, составу — структуре — свойствам объектов неживой, живой природы и общества, ни философами, ни специалистами других областей знания в должной степени до сих пор не осознается.
