Системный изоморфизм и эквивалентность. Равенство и симметрия

Как мы видели, уже само существование качественно различных объектов-систем приводит их к той или иной полиморфизации — порождению системы объектов качественно одного или разных родов. И такая полиморфизация из-за системных запретов и разрешений сопровождается, как ни парадоксально,... изоморфизацией: из-за неизбежного повторения основных системообразующих параметров — «первичных» элементов, отношений меж­ду ними, условий, ограничивающих эти отношения, и т. д.— в раз­личных материальных и идеальных системах. Получается так, что нигде никогда никакая полиморфизация не может не сопро­вождаться изоморфизацией и наоборот. И потому было бы грубой методологической ошибкой преувеличивать или преу­меньшать значение одного из них, например полиморфизма, за счет принижения или превознесения другого — изоморфизма, как это делается, скажем, в СТЭ или в номогенезе. Указанные обстоятельства приводят нас к необходимости детального, как и в случае с полиморфизмом, изучения изоморфизма.

В системной литературе изоморфизм берется как нечто дан­ное в отличие от нашей ОТС, в которой он выводится на опреде­ленном этапе ее построения как необходимое дополнение поли­морфизма. Более того, изоморфизм зачастую понимается лишь как математический изоморфизм. Между тем существует и ес­тественнонаучное представление об изоморфизме, идущее еще от Моннэ, Роме де Лиля, Леблана, Бертолле, Гаюи, Фукса, Бедана, но в окончательном виде установленное в 1819— 1821 гг. Э. Митчерлихом на ряде солей фосфорной и мышьяко­вой кислот [111; 112. С. 65—67]. По предложению Я. Берцелиуса Э. Митчерлих и назвал новое явление изоморфизмом или равноформенностью [см.: 76. С. 223]. Вскоре это понятие пе­рекочевало в математику, во многие другие науки и стало опре­деляться как сходство обычно довольно высокой степени и глав­ным образом по морфологическим признакам.

Очевидно, ОТС не может опираться лишь на математиче­скую дефиницию изоморфизма. Мы полагаем, что в соответствии со стремлением придать ОТС максимальную общность, содержа­тельность, синтетичность нужно выработать такое определение изоморфизма, которое удовлетворяло бы ученых всех областей знания и в то же время не совпадало бы с более частными их дефинициями. Это заставляет нас предложить новый термин — системный изоморфизм.

Системный изоморфизм — это отношение. Следуя Ю. А. Шрейдеру [113], отношение системного изоморфизма можно определить как подмножество некоторого Декартова про­изведения S_a ´ S_b- Однако обычное определение предполагает наличие некоторой заранее заданной основной системы объектов рода С — S_c (с от слова «синтез»), тем более что S_a и S_bмож­но рассматривать как ее подсистемы, что позволяет воспользо­ваться плюсами как первого, так и второго подхода.

Определение 5. Назовем отношением системного изоморфиз­ма между объектами-системами одной и той же системы объек­тов рода С отношение R_s Í S_c ´ S_c, обладающее следующими свойствами:

1) рефлексивностью: всякий объект-система а системно изоморфичен самому себе; другими словами, для всякого а Í S_c с имеем: (а, а) Í R, или, что то же самое, для всех а Í S_c выполняет­ся aRa;

2) симметричностью: если а системно изоморфичен b, то b системно изоморфичен а; другими словами, если (a, b) Í R, то также (b, а) Í R, откуда следует, что R = R^-1, или aRb ® bRa.

Особо отметим содержательность и синтетичность этого оп­ределения: фактически системный изоморфизм является явной экспликацией отношения сходства. Другим его выражением служит понятие толерантность (по Э. Зиману [32]). Высшей формой системного изоморфизма будет тождество, его наиболее распространенной формой существования — неполное сходство; важным частным случаем его будет эквивалентность с ее много­численными видами, из которых наиболее значимы для нас отношения равенства и математического изоморфизма.

Предложение 23. Системный изоморфизм есть система объектов одного и того же рода, изоморфическая модифика­ция — объект-система. Справедливость первой части этого ут­верждения следует из определения системного изоморфизма, согласно которому последний суть отвечающая условиям реф­лексивности и симметричности подсистема сходных пар объек­тов-систем системы S_CXS_C. Справедливость второй части пред­ложения следует из справедливости его первой части.

Закон изоморфизации: любой объект есть изоморфическая модификация и любая изоморфическая модификация принадле­жит хотя бы одному системному изоморфизму.

Справедливость закона изоморфизации следует уже из ис­тинности закона системности. Действительно, любой объект схож с любым другим объектом по отношению «быть объектом-системой и принадлежать хотя бы одной системе объектов данного рода». Правда, по такому отношению любой объект-система будет выступать как изоморфическая модификация любого другого объекта-системы, как бы далеко они ни отстояли друг от друга, даже если один из них — материальный, дру­гой — идеальный. Сказанное справедливо и для любой цепочки превращений объектов-систем, сколь бы существенными они ни были, например типа: «живой организм — труп — зола после его сжигания». Это справедливое суждение позволяет прийти к закону сохранения — инвариантной формулировке закона сис­темности.

Закон сохранения системного сходства: какие бы превра­щения объекты-системы ни испытывали, системное сходство как с самими собой, так и с другими объектами-системами сохраняется.

Выявление системного изоморфизма в виде системы объек­тов данного — изоморфического — рода позволяет автоматиче­ски предложить алгоритм построения изоморфизма в виде уже сформулированного алгоритма построения системы объектов данного рода. Например, следуя этому алгоритму, мы можем в качестве «первичных» элементов отобрать объекты-системы сравниваемых систем объектов родов А и В (т. е. S_A и S_B), «на­ложить» на эти элементы отношение единства, т. е. сочетания во всевозможные пары; ограничить данное отношение выбранным условием сходства «иметь признаки П₁, П₂,..., П_к» и образо­вать подчиняющийся всем этим ограничениям особый «систем­ный изоморфизм», т. е. подсистему декартова произведения сис­тем S_A и S_B.

К сожалению, приведенный алгоритм недостаточно эвристичен. Это обстоятельство заставило нас разработать особый алгоритм предсказания сходства — системного изоморфизма. Согласно этому эвристическому приему, необходимо, во-первых, установить принципиальные особенности объекта-системы или системы объектов данного рода; во-вторых, построить абстракт­ную модель, изоморфную по этим особенностям оригиналу; в-третьих, отобрать из уже известных науке объекты-системы или системы объектов данных родов, изоморфные данной моде­ли, и, наконец, в-четвертых, установить изоморфизм исходного объекта-системы или системы объектов данного рода отобран­ным объектам-системам или системам объектов данных родов.

Использование алгоритма предсказания сходства позволило впервые предсказать и детально описать изомерийный а) диссимметрический изоморфизм между 16 изомерами листьев липы и 16 изомерами молекул альдогексоз; б) диссимметро-недиссимметрический изоморфизм между 9 изомерами молекул инозита и 9 из 14 изомерами 6-членного венчика барбариса; в) недиссимметрический изоморфизм между цис- и транс-изомерами молекул дихлорэтилена и цис- и трансизомерами 4-членного венчика ночной фиалки [89].

Посредством этого же алгоритма и закона соответствия (см. далее) нам удалось разработать хемоцентрический (стан­дарт сравнения — глицериновый альдегид), антропоцентриче­ский (стандарт сравнения — человек) и хемо-антропоцентрический (стандарты сравнения — глицериновый альдегид и чело­век) способы однозначного определения знаков энантиоморфизма (правизны или левизны) химических и нехимических объектов и решить труднейшую задачу определения знаков энантиоморфизма нехимических (в частности, биологических) диссобъектов посредством химических, а химических — посред­ством нехимических диссобъектов [95].

Новый шаг в развитии обобщенного учения об изоморфизме можно сделать посредством отношения эквивалентности как важного частного случая изоморфизма.

Определение 6. Назовем отношением эквивалентности между объектами-системами одной и той же системы S_c отношение R Í S_c ´ S_c, обладающее свойствами: 1) рефлексивности: всякий объект-система а эквивалентен самому себе; другими словами, для всякого a Í S_c имеем (а, а) Í R, или, что то же самое, для всех a Í S_c выполняется aRa; 2) симметричности: если а эквива­лентен b, то b эквивалентен а; другими словами, если (а, b) Í R, то (b, а) Í R, откуда следует, что R = R^-1, или aRb ® bRa; 3) транзитивности: если а эквивалентен b и b эквивалентен с, то а эквивалентен с; другими словами, (а, b) Í R и (b, c) Í R ® (а, c) Í R, или aRb и bRc ® aRc.

Отношение эквивалентности удобно обозначать знаком ~ (тильда).

Определения системного изоморфизма и эквивалентности почти дословно совпадают друг с другом. Это сделано намерен­но, чтобы подчеркнуть частный характер второй по отношению к первому, но главной задачей является исследование с по­мощью понятия «эквивалентность» связи «системный изомор­физм — симметрия».

Изучать эту связь можно по меньшей мере двумя способами: во-первых, посредством понятия «равенство» — важного частно­го случая отношения эквивалентности; во-вторых, путем вывода законов соответствия и симметрии, осуществляемого с использо­ванием представления об эквивалентности. Остановимся на этих моментах подробнее.

Равенство — симметрия. Будем считать равными по призна­кам П все такие объекты О, которые становятся неотличимыми друг от друга по сравниваемым признакам после изменений И. Если мы теперь сопоставим данную дефиницию с определени­ем симметрии (см выше) и слово «совпаде­ние» в этом определении заменим словом «равенство», то убе­димся, что симметрия — это... равенство или по крайней мере такое «явление», которое в качестве своей основы содержит равенство. При этом каждая из четырех аксиом теории групп (аксиома замыкания — косвенно, а остальные три — непосред­ственно) также говорит о тех или иных равенствах, так что и с позиций теории групп подтверждается сделанное заключение о симметрии.

Аналогично обстоит дело и с «равенством». Если в приведен­ной дефиниции слово «равными» заменить словом «симметрич­ными», то станет ясно, что равенство — это... симметрия или нечто, содержащее в своей основе симметрию. О том же говорят и свойства отношения эквивалентности, а стало быть, и свойства отношения равенства, т. е. «рефлексивность», «симметричность», «транзитивность», так как эти свойства равнозначны трем груп­повым аксиомам — о нейтральном элементе, об обратных эле­ментах, о замкнутости группы на себя.

Итоги такого двойного анализа (симметрии с точки зрения равенства, а равенства с точки зрения симметрии) настойчиво побуждают нас сделать простой на первый взгляд вывод о том, что симметрия — это равенство, равенство — это симметрия. Соответственно и асимметрия — это неравенство, неравенст­во — это асимметрия.

Из сказанного следует, что равенство (как и неравенство) относительно. На примере учения о структурной симметрии мы детально показали [см.:,92], что в основе любых симметрии — как классических, так и неклассических, разработанных за по­следние 60 лет (подробнее о последних см. в книге А. М. Заморзаева),— лежит именно релятивистское понима­ние равенства. Это обстоятельство позволяет рассматривать историю развития представлений о симметрии как историю открытий нетривиальных равенств и учений о них.