Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Интерполяционная формула Ньютона




 

Довольно распространенным методом интерполирования является метод Ньютона. Интерполяционный полином для этого метода имеет вид:

Pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) +... + an(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1).

Задача состоит в отыскании коэффициентов ai полинома Pn(x). Коэффициенты находят из уравнения:

Pn(xi) = yi, i = 0, 1,..., n,

позволяющего записать систему:

a0 = y0;

a0 + a1(x1 - x0) = y1;

a0 + a1(x2 - x0) + a2(x2 - x0)(x2 - x1) = y2;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a0 +... + an(xn - x0)(xn - x1)... (xn - xn-1) = yn;

Используем метод конечных разностей. Если узлы xi заданы через равные промежутки h, т.е.

xi+1 - xi = h,

то в общем случае xi = x0 + i×h, где i = 1, 2,..., n. Последнее выражение позволяет привести решаемое уравнение к виду

y0 = a0;

y1 = a0 + a1×h;

y2 = a0 + a1(2h) + a2(2h)h;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

yi = a0 + a1×i×h + a2×i×h[(i-1)h] +... + ai×i!×hi,

откуда для коэффициентов получаем

a0 = y0;

,

где Dу0 – первая конечная разность.

Продолжая вычисления, получим:

где D2у0 - вторая конечная разность, представляющая собой разность разностей. Коэффициент аi можно представить в виде:

.

Поставляя найденные значения коэффициентов аi в значения для Pn(x), получим интерполяционный полином Ньютона:

Преобразуем формулу, для чего введем новую переменную , где q – число шагов, необходимых для достижения точки х, двигаясь из точки х0. После преобразований получаем:

 

 

Полученная формула известна как первая интерполяционная формула Ньютона, или формула Ньютона для интерполирования "вперед". Ее выгодно использовать для интерполирования функции y = f(x) в окрестности начального значения х – х0, где q мало по абсолютной величине.

Если записать интерполяционный многочлен в виде:

 

 

то аналогичным образом можно получить вторую интерполяционную формулу Ньютона, или формулу Ньютона для интерполирования "назад":

 

.

 

Ее обычно используют для интерполирования функции вблизи конца таблицы.

При изучении данной темы необходимо помнить, что интерполяционные многочлены совпадают с заданной функцией f(x) в узлах интерполяции, а в остальных точках, в общем случае, будут отличаться. Указанная ошибка дает нам погрешность метода. Погрешность метода интерполяции определяется остаточным членом, который для формул Лагранжа и Ньютона одинаков и который позволяет получить следующую оценку для абсолютной погрешности:

 
 

 


где

Если интерполирование осуществляется с одинаковым шагом, то формула для остаточного члена видоизменяется. В частности, при интерполировании "вперед" и "назад" по формуле Ньютона выражение для R(x) несколько отличаются друг от друга.

Анализируя полученную формулу, видно, что погрешность R(x) представляет собой, с точностью до постоянной произведение двух множителей, из которых один, f(n+1)(x), где x лежит внутри [x0, xn], зависит от свойств функции f(x) и не поддается регулированию, а величина другого,

определяется исключительно выбором узлов интерполирования.

При неудачном расположении этих узлов верхняя граница модуля |R(x)| может быть весьма большой. Поэтому возникает задача о наиболее рациональном выборе узлов интерполирования xi (при заданном числе узлов n) с тем, чтобы полином Пn+1(х) имел наименьшее значение.

Эта задача была решена русским математиком П.Л. Чебышевым, который доказал, что наилучший выбор в указанном смысле узлов интерполирования на отрезке [a, b] дается формулой

где

, i = 0,1,…,n

 

- нули так называемого полинома Чебышева:

 

.

В этом случае мы будем иметь:

.

Отметим, что эти узлы не являются равноотстоящими, а сгущаются около концов отрезка [a, b].

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-12; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1206 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Настоящая ответственность бывает только личной. © Фазиль Искандер
==> читать все изречения...

2340 - | 2065 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.