Метод исключения (метод Гаусса)

 

Это – один из наиболее известных и широко применяемых прямых методов решения систем линейных уравнений.

Для иллюстрации метода рассмотрим уже знакомую нам систему из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

 

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ = b₁ ; (3.1)

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + а₂₃х₃ = b₂ ; (3.2)

а₃₁х₁ + а₃₂х₂ + а₃₃х₃ = b₃ . (3.3)

 

В такой системе по крайней мере один из коэффициентов а₁₁, а₂₁, а₃₁ должен быть отличен от нуля, иначе мы имели бы дело в этих 3-х уравнениях только с двумя неизвестными. Если а₁₁ = 0, то можно переставить уравнения так, чтобы коэффициент при х₁ в первом уравнении был отличен от нуля. Очевидно, что перестановка уравнений оставляет систему неизменной; ее решение остается прежним.

Теперь введем множитель:

.

Умножим (3.1) на m₂, полученный результат вычтем из (3.2).

Результат вычитания:

 

(а₂₁ - m₂×a₁₁)×x₁ + (a₂₂ - m₂×a₂₁)x₂ + (a₂₃ - m₂×a₁₃)x₃ = b₂ - m₂×b₁.

Но

а₂₁ - m₂×a₁₁ = a₂₁ - ×a₁₁ = 0

Поэтому х₁ исключено из уравнения (3.2).

Обозначим новые коэффициенты:

 

a'₂₂ = a₂₂ - m₂×a₁₂

a'₂₃ = a₂₃ - m₂×a₁₃

b'₂ = b₂ - m₂×b₁

 

Тогда (3.2) приобретет вид:

a'₂₂×x₂ + a'₂₃×x₃ = b'₂ (3.2')

 

Заменим в системе уравнение (3.2) уравнением (3.2') и введем множитель для третьего уравнения:

.

Умножим (3.1) на m₃, полученный результат вычтем из (3.3).

Коэффициент при х₁ снова становится нулевым, и (3.3) приобретает вид:

 

a'₃₂×x₂ + a'₃₃×x₃ = b'₃, (3.3')

где

a'₃₂ = a₃₂ - m₃×a₁₂

a'₃₃ = a₃₃ - m₃×a₁₃

b'₃ = b₃ - m₃×b₁.

 

Если теперь в исходной системе уравнений заменить (3.3) на (3.3'), то новая система выглядит так:

 

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ = b₁; (3.1)

а'₂₂х₂ + а'₂₃х₃ = b'₂; (3.2')

а'₃₂х₂ + а'₃₃х₃ = b'₃. (3.3')

 

Эти уравнения полностью эквивалентны исходным с тем преимуществом, что х₁ входит только в уравнение (3.1). Уравнения (3.2') и (3.3') представляют систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Если определить из нее х₂ и х₃, подставить их в уравнение (3.1), то можно определить х₁.

Теперь исключим х₂ из (3.2') и (3.3').

Для этого введем множитель:

.

Умножим (3.2') на m'₃ и вычтем полученное из (3.3'). Получим:

(а'₃₂ - m'₃×a'₂₂)×x₂ + (a'₃₃ - m'₃×a'₂₃)x₃ = b'₃ - m'₃×b'₂.

Но

(а'₃₂ - m'₃×a'₂₂) = 0.

Полагая

a''₃₃ = a'₃₃ - m'₃×a'₂₃;

b''₃ = b'₃ - m'₃×b'₂ ,

окончательно получим:

a''₃₃×x₃ = b''₃. (3.3'')

 

Уравнение (3.3') можно заменить уравнением (3.3"), после чего система уравнений приобретет следующий вид:

 

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ = b₁; (3.1)

а'₂₂х₂ + а'₂₃х₃ = b'₂; (3.2')

а''₃₃х₃ = b''₃. (3.3")

 

Такая система уравнений иногда называется треугольной из-за своего внешнего вида.

Теперь необходимо определить х₃ из (3.3"), подставить его в (3.2'), определить х₂, подставить х₃ и х₂ в (3.1) и найти х₁. Этот процесс, который обычно называется обратной подстановкой, определяется формулами:

 

 

Вспомним, что мы переставили уравнения таким образом, чтобы а₁₁ и а'₂₂ не были равны нулю. Если окажется, что а"₃₃ = 0, то система уравнений является вырожденной.

Все прямые методы сводятся к преобразованию матрицы к более простому виду (например, диагональный, треугольный).