Мы начинаем искать решение от начала координат (0;0). Так как при вычислении х мы должны сохранять неизменным у, то геометрически это соответствует движению по горизонтали до пересечения с прямой, соответствующей 1-ому уравнению. Затем, сохраняя неизменным найденной значение х, движемся по вертикали, пока не пересечем прямую, соответствующую 2-ому уравнению. На рисунке такому процессу соответствует путь ОАВ. На этом заканчивается одна итерация. Дальнейшие итерации производятся точно таким же образом. Процесс сходится к решению системы уравнений.
Посмотрим, что случится, если мы переставим уравнения.
Решение системы не изменилось, но диагональные коэффициенты по модулю стали меньше недиагональных. При этом получим:
Результаты последовательных итераций составят:
| Итерация | х | у |
| -2 | ||
| -18 | ||
| -33 |
Из таблицы видно, что итерационный процесс с каждой новой итерацией удаляет нас от решения системы, то есть итерационный процесс расходится. В отличие от первого случая, мы здесь начинаем движение от начала координат по оси х в противоположном направлении, т.е. к графику второго уравнения системы (2.9).
Рассмотрим еще один вариант системы, в которой один из диагональных коэффициентов по модулю больше, а другой – меньше недиагонального коэффициента.
(2.10)
Решением системы является х = 1, у = 1. При этом получим:
Результаты последовательных итераций составят:
| Итерация | х | у |
| 3/2 | ||
| 3/4 | ||
| 3/2 | 9/8 | |
| 3/4 | 15/16 |
Видно, что итерационный процесс сходится к решению системы.
Таким образом, выполнение для системы из двух уравнений условия, при котором диагональные коэффициенты по модулю больше недиагональных, гарантирует сходимость метода, но в то же время существуют системы, для которых эти условия не выполняются, но метод итераций все равно сходится. Поэтому указанные условия для системы являются достаточными условиями для сходимости, но не являются необходимыми.
|
Рисунок 1.6 – Итерационный процесс решения системы (2.10)
В обоих рассмотренных случаях сходимость (или расходимость) носит колебательный характер, то есть итерационный процесс развивается по спирали. Однако, в зависимости от уравнений системы, итерационный процесс может сходиться к решению системы с одной стороны.
Приведем без доказательства достаточные условия сходимости итерационного метода Гаусса-Зейделя для системы (2.8) из n уравнений с n неизвестными.
Введем определение: система уравнений называется неприводимой, если нельзя вычислить какие-либо неизвестные, решая меньше чем n уравнений.
Если система уравнений неприводима, и если для всех i выполняется:
,
и если по крайней мере для одного i выполняется
,
то итерационный метод Гаусса-Зейделя сходится к решению системы уравнений (2.8).
