Приклад виконання завдання К3

Знайти швидкість точки В і прискорення точок В і Р рухомої шестерні радіуса r=0,05 м., яка котиться в середині нерухомої шестерні радіуса R=0,15 м. Шестерню радіуса r рухає кривошип, який обертається навколо осі О рівномірно з кутовою швидкістю =3 рад/с (рис. К.3).

	Рис. К.3.

Дано:

R=0,15 м

r=0,05 м

=3 рад/с

ОА=0,1м

-?

-?

-?

Розв’язання

1. Аналіз руху механізму. Досліджуючи рух механізму бачимо, що кривошип ОА, рівномірно обертаючись навколо осі О, рухає шестерню, яка в свою чергу обертається навколо пальця кривошипу А. Рухома шестерня котиться в середині нерухомої шестерні без ковзання. Отже, рух малої шестерні є плоскопаралельний, а рух кривошипа обертальний навколо нерухомої осі.

2. Визначення швидкості точки В. Положення миттєвого центра швидкостей малої шестерні Р відоме за умовою і тому її плоский рух, в даний момент часу, можна розглядати як обертальний навколо миттєвого центра швидкостей Р (рис.К.4).

 

Рис К.4

 

Отже, за законами розподілу швидкостей відносно миттєвого центра швидкостей дістанемо

 

(1)

Звідки

Невідому швидкість точки А, можна знайти як швидкість точки кривошипа ОА:

м/с

Вектор напрямлений перпендикулярно до ОА, а вектор – перпендикулярно до ВР (рис.К.4). Модуль вектора знаходимо за формулою (1):

3. Визначення прискорень точок В і Р. Плоский рух малої шестерні складається з руху разом з полюсом, точкою А, і обертальною навколо осі, що проходить через полюс А. Прискорення точок В і Р визначимо за теоремою про додавання прискорень у плоскому русі:

,

(2)

де за модулем:

r; r.

Спочатку визначимо прискорення полюса А, як точки кривошипа ОА. Кривошип ОА обертається навколо осі О з сталою кутовою швидкістю. Отже, його кутове прискорення дорівнює нулю: Прискорення точки А кривошипа визначається за формулою: де за модулем: . Отже, прискорення точки А дорівнює:

і напрямлене до центра обертання кривошипа О по радіусу ОА.

Визначимо кутову швидкість і кутове прискорення рухомої шестерні, необхідні для формул (2).

Миттєвий центр швидкостей знаходиться в точці Р, отже:

За умовою задачі , тому що Таким чином, згідно (2), модулі прискорень і дорівнюють:

Вектори і напрямлені по радіусах до центра А рухомої шестерні (рис.К.4).

Вектори і дорівнюють нулю, згідно формули (2), тому, що

(3)

Таким чином, прискорення точок В і Р знаходиться за формулами

Як показано на рис.К.4, вектори прискорень і взаємно перпендикулярні і тому

,

а вектори прискорень і паралельні і тому

 

Відповідь:

 

№ варианта	Розміри, см	wOA , рад/с	w1 , рад/с	eOA , рад/с2	VA , см/с	а A , см/с2
ОА, см	R, см	AB, см	АС, см
			-			-		-	-
			-			-		-	-
	-		-	-	-	-	-
		-	-			-		-	-
		-	-			-		-	-
			-					-	-
		-				-		-	-
	-	-			-	-	-
	-	-			-	-	-
		-				-		-	-
			-			-		-	-
			-			-		-	-
	-		-	-	-	-	-
		-	-			-		-	-
		-	-			-		-	-
			-					-	-
		-				-		-	-
	-	-			-	-	-
	-	-			-	-	-
		-				-		-	-
			-			-		-	-
			-			-		-	-
	-		-	-	-	-	-
		-	-			-		-	-
		-	-			-		-	-
			-					-	-
		-				-		-	-
	-	-			-	-	-
	-	-			-	-	-
		-				-		-	-

 

ІІІ РАЗДЕЛ «ДИНАМИКА»

Краткие теоретические сведения

 

Задачи динамики

 

В динамике решаются два типа задач. Первая состоит в определении действующих сил при заданном законе движения материального объекта (точки или системы). Вторая задача обратная первой: определяется закон движения материального объекта при известных действующих на него силах.

 

 

Основные понятия динамики.

 

Инерционность - свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.

Масса - количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы - килограмм (кг).

Материальная точка - тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.

Центр масс механической системы - геометрическая точка, координаты которой определяются формулами.

(3.1)

где m_k, x_k, y_k, z_k - масса и координаты k - той точки механической системы,

m - масса системы.

В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести.

Момент инерции материального тела относительно оси – количественная мера инертности при вращательном движении.

Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси.

J_Z = m×r² (3.2)

Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек.

J_Z = åm_k×r_k² (3.3)

Сила инерции материальной точки - векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения

(3.4)

Сила инерции материального тела - векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс

, (3.5)

где - ускорение центра масс тела.

Элементарный импульс силы - векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt

, (3.6)

 

 

Полный импульс силы за Dt равен интегралу от элементарных импульсов

(3.7)

Элементарная работа силы - скалярная величина dA, равная скалярному произведению вектора силы на бесконечно малое перемещение d .

Скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между направлениями векторов.

dA = F×ds×cosa, (3.8)

где a - угол между направлениями векторов перемещения и силы.

Работа силы на конечном перемещении точки её приложения равна интегралу от элементарной работы, взятому по перемещению.

(3.9)

Единица измерения работы - Джоуль (1 Дж=1 Н×м).

Количество движения материальной точки - векторная величина , равная произведению массы m на её скорость .

= (3.10)

Количество движения механической системы равно векторной сумме количества движения её точек.

(3.11)

или с учетом формул (3.1).

, (3.12)

где: m- масса механической системы,

- вектор скорости центра масс системы.

Кинетическая энергия материальной точки - скалярная величина Т, равная половине произведения массы точки на квадрат её скорости.

T= (3.13)

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех её точек.

(3.14)

Аксиомы динамики

Первая аксиома - закон инерции.

Если на свободную материальную точку не действуют никакие силы или действует уравновешенная система сил, то точка будет находиться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

 

Вторая аксиома- закон пропорциональности ускорения.

Ускорение, сообщаемое материальной точке действующей на неё силой, пропорционально этой силе и по направлению совпадает с направлением силы. , (3.15)

Выражение (3.15) называют основным законом динамики.

 

Третья аксиома - закон противодействия.

Силы, с которыми действуют друг на друга две материальные точки, равны по модулю и направлены вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны

, (3.16)

Четвертая аксиома - закон независимости действия сил.

При действии на материальную точку системы сил полное ускорение этой точки равно геометрической сумме ускорений от действия каждой силы

, (3.17)

 

Дифференциальные уравнения динамики

Дифференциальные уравнения движения точки связывают ускорение точки с действующими на нее силами. Фактически дифференциальные уравнения являются записью основного закона динамики в явной дифференциальной форме.

Для абсолютного движения точки (движение в инерциальной системе отсчета) дифференциальное уравнение имеет вид

, (3.18)

Векторное уравнение (3.17) может быть записано в проекциях на оси прямоугольной инерциальной системы координат

,

, (3.19)

,

При известной траектория движения точки уравнение (3.18) может быть записано в проекциях на оси естественной системы координат

, (3.20)

C учетом (2.8) уравнения примут вид

(3.21)

 

Общие теоремы динамики

 

Общие теоремы динамики устанавливают зависимость между мерами механического движения и механического взаимодействия. Выводы теорем являются результатом тождественного преобразования основного закона динамики.

Теорема об изменении количества движения: изменение количества движения материальной точки (механической системы) за конечный промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени -для материальной точки; (3.22)

-для механической системы. (3.23)

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии точки (механической системы) при её перемещении равно сумме работ всех действующих внешних сил на этом перемещении - для материальной точки (3.24)

- для механической системы (3.25)

Кинетическая энергия механической системы определяется в соответствии с (3.14), при этом для твердых тел выведены следующие зависимости

-при поступательном движении тела, (3.26)

- при вращательном движении тела, (3.27)

- при плоско-параллельном движении тела. (3.28)

Моменты инерции некоторых однородных тел

 

 

 

Рис. 3.1 Рис.3.2. Р ис.3.3.

 

Момент инерции цилиндра относительноего оси (рис. 3.1.)

Момент инерции стержня относительно оси z (рис.3.2)

Момент инерции прямоугольной пластины относительно осей х и y (рис.3.3)

Момент инерции шара определяется по формуле:

 

В общем случае работа сил определяется в соответствии с (3.8),(3.9).В ряде случаев действия сил работа может быть определена по частным зависимостям.

 

Работа силы тяжести

, (3.29)

где: - сила тяжести,

- изменение положения тела по вертикали.

Работа силы при вращательном движении тела

, (3.30)

где: - момент силы,

- угловая скорость тела.

Следует иметь в виду, что работа, как скалярная величина, может быть положительной или отрицательной. Работа будет положительной если направление действия силы совпадает с направлением движения.

 

Принцип Даламбера

Изложенные выше методы исследования движения тел, базируются на законах Ньютона. Разработаны методы, в основу которых положены другие принципы. Одним из них является принцип Даламбера. Принцип формулируеся: если в любой момент времени к действующим на точку силам присоединить силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной

, (3.31)

или для механической системы

(3.32)

Принцип Даламбера позволяет применять к решению задач динамики более простые методы статики, поэтому он широко используется в инженерной практике.

 

 

Вопросы для самоконтроля по разделу

 

1. Сформулируйте основные задачи динамики.

2. Дайте определения массы, момента инерции, импульса силы, работы силы, количества движения, кинетической энергии.

3. Сформулируйте основные законы динамики.

4. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением динамики? Какой алгоритм решения задач динамики с помощью дифференциальных уравнений?

5. Сформулируйте общие теоремы динамики.

6. Сформулируйте принцип Даламбера. Как определяются силы инерции?

7. Сформулируйте принцип возможных перемещений. Для каких условий применяется принцип возможных перемещений?

 

Завдання Д