Приклад виконання завдання С3

З кола радіуса R вирізане дотичне до нього коло радіуса (рис.С.5). Визначити положення центра ваги решти площі круга.

 

 

Розв’язання

Внаслідок симетрії і центр ваги даної плоскої фігури лежить на її осі симетрії Ох. Щоб визначити його координату використаємо метод від’ємних площ. Площа цілого круга дорівнює , координата його центру ваги дорівнює , площа вирізаного круга дорівнює , координата х₂ центра ваги вирізаного круга дорівнює

		Рис. С.5

 

.

Отже, згідно методу від’ємних площ, для визначаючення положення центра ваги плоскої фігури з вирізом, вважаємо плоску фігуру суцільною, а виріз – плоскою фігурою з від’ємною площею. Позначимо площу всієї фігури через , площу вирізу через , координати центра ваги фігури без вирізу через а вирізаної фігури через Маємо формулу метода від’ємних площ:

Таким чином

Відповідь:

 

 

Короткі теоретичні відомості

 

1. Центр ваги твердого тіла - це незмінно пов’язана з цим тілом точка, через яку проходить лінія дії рівнодійної елементарних сил ваги, прикладених до частинок цього тіла.

Вагою Р твердого тіла називають суму сил ваги всіх його матеріальних частинок:

При розв’язанні задач на визначення центру ваги однорідного тіла доцільно розбити це тіло на такі частини, положення центру ваги кожної з яких відомо або ж його легко можна знайти.

Для фігури, що складається з відрізків ліній, координати центру ваги визначають за формулами:

де x_і, у_і, z_і - координати центру ваги відповідного відрізка, a l - його довжина.

Для плоскої фігури, що складається з декількох частин, кожна з яких має відповідно площу S_і і координати центру ваги x_і, у_і, z_і, маємо:

 

Для тіла, що складається з однорідних частин із об’ємами V_і координати центру ваги визначають за формулами:

2. Спосіб розбивки.

Плоску фігуру розбивають на елементи, центри ваги й площі яких легко визначаються, і по формулах знаходять координати центра ваги всієї фігури.

3. Спосіб негативних площ.

У способі розбивки площі вирізаних елементів беруться зі знаком мінус.

4. Формули, що визначають координати центра ваги геометричних фігур:

Відмітимо, що за означенням центр ваги - це точка геометрична; вона може бути розташована поза межами даного тіла (наприклад, для кільця). Положення центрів ваги деяких однорідних тіл наведені в табл 1.

 

Таблиця 1

№	Тіло	Положення центру ваги
	Дуга кола радіуса R	Центр ваги дуги кола розташований на її осі симетрії:
	Прямокутна пластина	Центр ваги С розташований у центрі прямокутника - точці перетину діагоналей.
	Трикутна пластина	Центр ваги розташований у точці перетину медіан: де хс, ус – координати вершин трикутника.
	Пластина, обмежена трапецією	Центр ваги розташований у точці перетину прямої АВ і прямої, що з’єднує середини паралельних сторін, де Н - висота трапеції.
	Пластина у вигляді кругового сектора	Центр ваги С кругового сектора, розташований на його осі симетрії:
	Пластина у вигляді кругового сегмента	Центр ваги С кругового сегмента, розташований на його осі симетрії:

 

 

Завдання

 

 

 

Розділ IІ. КІНЕМАТИКА

Завдання К

 

Завдання К1. КІНЕМАТИКА ТОЧКИ. Основна задача кінематики точки.

За заданими рівняннями руху точки М знайти:

а) рівняння траєкторії точки і показати траєкторію на рисунку;

б) швидкість і прискорення точки для заданого моменту часу t₁ ;

в) для моменту часу t₁ знайти положення точки М на траєкторії і показати вектори швидкості, дотичного, нормального та повного прискорень;

г) радіус кривини траєкторії в момент часу t₁.

Дані задачі наведено в таблиці 1 завдань К.

 

Необхідно знати:

1. Способи задання руху точки.

2. Формули, за якими визначаються проекції на декартові осі координат вектора швидкості та вектора прискорення точки.

3. Формули для визначення нормального та дотичного прискорень точки:

;

4. Як визначається аналітично будь-який вектор, якщо відомі його проекції на осі координат.

Необхідно вміти:

1. Діставати похідні від різних функцій.

2. Використовувати різні тригонометричні тотожності.

 

Залежність параметрів, що характеризують положення точки відносно системи відліку, від часу визначають відповідними рівняннями, які називають законом руху точки. Закон руху точки вважається відомим, якщо можна визначити положення точки в просторі у довільний момент часу.

Основними просторово-часовими, тобто кінематичними, характеристиками руху точки є траекторія, швидкість і прискорення. Виходячи з цього, основна задача кінематики точки полягає в знаходженні її положення на траєкторії, визначення швидкості та прискорення, якщо відомі рівняння руху точки, тобто закон її руху.

Методичні рекомендації

При розв’язанні задач на визначення швидкості та прискорень точки треба додержуватися такого порядку:

1 Вибрати систему координат;

2 Записати рівняння руху точки у вибраній системі координат;

3 Диференціюючи рівння руху за часом знайти проекції швидкості точки на осі координат за якими визначити вектор швидкості.

4 За відомими проекціями швидкості на осі координат диференціюючи їх за часом, занайти проекції прискорення на осі координат і прискорення за величиною та напрямом.

Якщо траєкторія точки задана за умовою задачі тоді доцільно викорстати натуральну форму рівнянь руху і шукати швидкість та прискорення точки через проекції на осі натуральної системи координат.